In questo articolo spiegheremo che cosa è e come si risolve un’equazione di primo grado facendo un accenno alla teoria e ad alcuni esercizi svolti.
Un’equazione matematica di primo grado è una eguaglianza tra due quantità chiamati membri del tipo:
1°membro = 2°membro
Per esempio l’espressione
8+2 = 8+2
può essere ridotta molto banalmente nella forma
10 =10
ecco quindi che tale espressione si riduce ad una identità.
Se adesso però in uno dei membri (o in entrambi) compare una quantità incognita (che chiameremo x), non risulterà possibile ridurre l’equazione ad una identità se non si conosce prima il valore della x, cioè della quantità incognita.
Risolvere un’equazione di primo grado consiste essenzialmente nel trovare il valore dell’incognita x che rende vera l’equazione, cioè che la riduce ad identità banalmente verificata.
Per poter risolvere un’equazione di primo grado è sufficiente eseguire una serie di semplici passaggi che consistono nell’ordinare l’equazione con i termini simili in uno dei due membri (solitamente a primo membro) e i termini noti nell’altro. Inoltre durante le operazioni di semplificazione dell’equazione si dovranno osservare alcune semplici regole e proprietà di cui godono le equazioni di primo grado che enunceremo qui a seguire.
ESEMPI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
x+5=3
2x+7=-9
10-7x=4x+2
2x+4=0
PROPRIETA’ E REGOLE DA SEGUIRE NEL PROCEDIMENTO DI RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Le regole da seguire per poter risolvere una equazione di primo grado sono estremamente semplici, in particolare bisogna ricordarsi delle seguenti proprietà delle equazioni:
- Moltiplicando o dividendo entrambi in membri dell’equazione per una stessa quantità non si altera il significato dell’equazione
- Il passaggio di un qualunque termine dell’equazione da un membro all’altro ne comporta la variazione di segno
- Aggiungendo o sottraendo la stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il significato dell’equazione rimane invariato
- Aggiungendo e sottraendo la stessa quantità ad uno dei membri dell’equazione il significato resta inalterato
VERIFICA DELLE PROPRIETA’
Verifichiamo che moltiplicando o dividendo entrambi in membri dell’equazione per una stessa quantità non si altera il significato dell’equazione con un esempio:
Considerata l’equazione:
2x=-4
è noto che la soluzione di tale equazione è banalmente x=-2, infatti per eseguire la verifica basterà sostituire il valore di x trovato all’equazione di partenza per ridurla ad una identità verificando così che il primo membro è uguale al secondo membro, facciamolo:
(2)(-2)=-4
-4=-4
essendo entrambi i membri uguali l’equazione risulta verificata (ridotta ad identità).
A questo punto proviamo a moltiplicare entrambi i membri per una medesima quantità, per esempio -5.
L’equazione di partenza diventa quindi:
(-5)*(2x)=(-4)(-5)
-10x=+20
la cui soluzione è ancora x=-2 !
Verifichiamo che il passaggio di un qualunque termine dell’equazione da un membro all’altro ne comporta la variazione di segno con un esempio:
Consideriamo nuovamente l’equazione
2x=-4
Il passaggio del -4 a primo membro ne comporta la variazione di segno da -4 a +4:
2x+4=0
tale equazione risulta ancora verificata per x=-2, infatti sostituendo si ha: 2(-2)+4=0 che è VERO.
Verifichiamo che aggiungendo o sottraendo la stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il significato dell’equazione rimane invariato. Risulta infatti, sempre con riferimento alla medesima equazione utilizzata negli esempi precedenti, che:
2x=-4
aggiungiamo adesso ad entrambi i membri la medesima quantità, per esempio +7:
+7+2x=-4+7
basterà a questo punto applicare la proprietà n.2 per portare il +7 del primo membro al secondo membro ma stavolta con il segno invertito, scriveremo quindi:
2x=-4+7-7
semplificando +7 e -7 si trova nuovamente l’equazione di partenza 2x=-4.
La verifica dell’ultima proprietà descritta (Aggiungendo e sottraendo la stessa quantità ad uno dei membri dell’equazione il significato resta inalterato) risulta banalmente verificata, infatti può scriversi per esempio:
2x=-4+6x-6x
In questo caso abbiamo semplicemente aggiunto e sottratto la medesima quantità 6x a secondo membro, semplificando risulterà sempre 2x=-4
In conclusione qualunque sia la proprietà applicata risulterà sempre x=-2 soluzione dell’equazione e pertanto tali proprietà non alterano in alcun modo il significato dell’equazione.
Esempi su come risolvere un’equazione di primo grado
Vediamo adesso alcuni esempi concreti su come risolvere un’equazione di primo grado
ESEMPIO 1
Consideriamo la seguente equazione:
5x+7=-2+7x-15
Portiamo a primo membro tutti i termini in cui compare la x e a secondo membro i termini noti ricordandoci che va cambiato il segno nel passaggio di un qualunque termine da un membro all’altro, quindi
5x-7x=-2-15-7
semplifichiamo sommando i termini simili
-2x=-24
adesso moltiplichiamo primo e secondo membro per -1, si ottiene così
2x=24
adesso dividiamo primo e secondo membro per 2
2/2 x = 24/2
x=12
che è la soluzione dell’equazione
ESEMPIO 2
Consideriamo la seguente equazione:
2x+15-2+9x-16=0
Per prima cosa ordiniamo l’equazione portando tutti i termini con la x a primo membro ed i termini noti a secondo membro cambiandoli di segno:
2x+9x=-15+2+16
11x=+3
x=3/11
ESEMPIO 3
Consideriamo l’equazione:
1-5x=-7x+57
semplificando si ottiene
7x-5x=57-1
2x=56
x=56/2=28
ESEMPIO 4
Consideriamo l’equazione
portiamo i termini con la x a primo membro
