In questa lezione impareremo a studiare il segno di un trinomio di secondo grado. Questo argomento di algebra diventa infatti particolarmente importante nel momento in cui, per esempio, ci si trova a risolvere delle disequazioni o un sistema di disequazioni di secondo grado (ma non solo!).
Vediamo quindi nello specifico che significa effettuare lo studio del segno di un trinomio di secondo grado cercando al contempo di utilizzare un linguaggio semplice e un minimo di rigore matematico.
Sia dato il seguente trinomio di secondo grado nella forma:
Dalla teoria elementare dell’algebra risulta che il discriminante di un trinomio di secondo grado vale:
E’ necessario a questo punto distinguere 3 casi:
- 1° caso:
Analisi dell’intervallo esterno alle radici
In tal caso le radici x1 ed x2 del polinomio sono reali e distinte; supponiamo inoltre che sia x1<x2.
In tal caso è noto che f(x) può scriversi come:
Ipotizziamo adesso di sostituire alla variabile x i valori esterni all’intervallo compreso tra le radici, quindi maggiori di x2 oppure minori di x1 (parti in arancio nel grafico qui in basso)
Se consideriamo adesso l’insieme dei valori di x tale per cui risulta x>x2, avendo posto x2>x1 (per ipotesi), a maggior ragione dovrà risultare anche x>x1. Conseguentemente risultano soddisfatte entrambe le seguenti disequazioni:
Potrà quindi scriversi che
Se adesso si considera il caso in cui x è minore di x1, a maggior ragione risulterà x<x2, avremo quindi:
da cui ancora si deduce che
In entrambi i casi il prodotto del coefficiente a con il termine (x-x1)(x-x2) avrà il segno di a.
In generale potremo quindi dire che il trinomio f(x) assume valori delle stesso segno (concordi) con il coefficiente del termine quadratico, per tutti i valori di x esterni all’intervallo compreso tra le radici (in altre parole il trinomio è concorde al suo primo coefficiente).
Analisi dell’intervallo interno alle radici
Ipotizziamo adesso di sostituire alla variabile x i valori interni all’intervallo, in formule:
da cui deriva contemporaneamente che:
e
Deve quindi aversi che
conseguentemente, dovendo risultare
si ha che il segno di f(x) sarà discorde al segno di a.
In generale potremo quindi dire che il trinomio f(x) assume valori di segno opposto al coefficiente del termine quadratico, per tutti i valori di x interni all’intervallo compreso tra le radici (in altre parole il trinomio è discorde al suo primo coefficiente).
Radici del polinomio
Se infine sostituiamo alla variabile x il valore x1 o x2 il trinomio si annulla, in altri termini si avrà:
- 2° caso:
In questo caso le radici del polinomio sono reali e coincidenti, risulta pertanto che x1=x2 ; Conseguentemente il polinomio potrà scriversi nella forma:
Si nota subito che per x1≠x2 il termine entro parentesi risulta sempre positivo, pertanto il segno di f(x) è determinato dal segno del coefficiente a.
Notiamo inoltre che per x=x1=x2 -> f(x1)=f(x2)=0
- 3° caso:
In tal caso il trinomio non ha radici nel campo dei numeri reali risultando il discriminante negativo.
Per determinare il segno del trinomio di secondo grado conviene porre f(x) nella forma seguente:
Tale espressione risulta del tutto equivalente alla forma già vista all’inizio dell’articolo, tuttavia ci consente di fare alcune rapide considerazioni:
- il termine entro parentesi tonda è positivo o al più nullo
- il termine -∆/(4a2) è sempre positivo, risultando per ipotesi ∆<0
In virtù delle considerazioni appena esposte si ha che il termine entro parentesi quadra è sempre positivo e di conseguenza il trinomio f(x) è sempre concorde con il coefficiente a e non si annulla mai.
Determinazione del segno di un trinomio di secondo grado: ESEMPI SVOLTI
ESEMPIO 1
Studiare il segno del seguente trinomio:
Si ha
∆=b2-4ac=(-3)2 -4*4*(-5)=89>0
con a=4>0
Le radici del polinomio corrispondono agli zeri dell’equazione f(x)=0, per cui risolvendo risulta:
Potremo quindi dire che:
| per x<x1 | f(x)>0 |
| per x=x1 | f(x)=0 |
| per x1<x<x2 | f(x)<0 |
| per x=x2 | f(x)=0 |
| per x>x2 | f(x)>0 |
ESEMPIO 2
Studiare il segno del seguente trinomio:
In tal caso si ha:
∆=b2-4ac=(-4)2 -4*2*2=0;
con a=2>0
Le radici risultano reali e coincidenti: x1=x2=1
Potremo quindi dire che:
| per x≠1 | f(x)>0 |
| per x=1 | f(x)=0 |
ESEMPIO 3
Studiare il segno del seguente trinomio:
Risulta
∆=9-16=-7<0 ed a=1>0 per cui potrà dirsi che f(x)>0 sempre.
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