La circonferenza è una delle figure più studiate della geometria analitica, sia per la sua importanza teorica sia per le applicazioni negli esercizi scolastici. In questa guida vedremo come ricavare l’equazione della circonferenza, come determinare il centro e il raggio e come stabilire se un’equazione rappresenta effettivamente una circonferenza.
Nel corso dell’articolo affronteremo in particolare i seguenti argomenti:
- riconoscere una circonferenza a partire dalla sua equazione
- collegare la circonferenza alla famiglia delle coniche
- determinare centro e raggio della circonferenza
- distinguere i tre casi di esistenza della circonferenza
- risolvere esercizi con esempi svolti passo passo
Questa guida è pensata sia per gli studenti che si avvicinano per la prima volta alla circonferenza, sia per chi vuole consolidare le proprie conoscenze prima di affrontare esercizi più complessi.
La definizione di circonferenza come luogo geometrico
La circonferenza è definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, chiamato centro. La distanza costante del luogo di tali punti dal centro prende il nome di raggio \(r\).
Se indichiamo quindi con:
- \(C(x_0,y_0)\) il centro
- \(r\) il raggio
- \(P(x,y)\) un punto generico sulla circonferenza
allora la distanza tra \(P\) e \(C\) è sempre \(r\), in formule:
Equazione della circonferenza generica dati centro e raggio
Dal teorema di Pitagora è ben noto che la distanza tra due punti generici \(P(x,y)\) e \(C(x_0,y_0)\) può calcolarsi come:
Poiché deve risultare \(PC=r\), elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene l’equazione della circonferenza con centro e raggio espliciti:
L’equazione (1) rappresenta una delle forme più intuitive della circonferenza ed è spesso utile per effettuare disegni e primi esercizi. Notiamo inoltre che per rappresentare una circonferenza o scriverne l’equazione è sufficiente conoscerne solo le coordinate del suo centro ed il raggio.
Equazione della circonferenza con centro nell’origine (caso particolare)
Se il centro \(C\) della circonferenza coincide con l’origine degli assi, si avrà:
L’equazione (1) in tal caso si semplifica nella forma:
Quest’ultima equazione rappresenta la circonferenza centrata nell’origine (Fig.2).
Forma canonica (o normale) dell’equazione della circonferenza
Sviluppando i quadrati nella (1) si ha:
Se poniamo adesso
la (1), dopo aver sviluppato i quadrati e riordinato, potrà scriversi come:
che è definita equazione della circonferenza in forma canonica (o normale).
Dalle posizioni fatte risulterà inoltre:
che rappresentano le coordinate del centro \(C\).
Il raggio \(r\) potrà invece scriversi come:
e quindi ancora nella forma:
Condizioni di esistenza della circonferenza
Affinché la circonferenza esista, il raggio \(r\) definito dalla (5) deve essere reale e non negativo; a tal proposito possiamo distinguere tre casi fondamentali:
Caso 1: raggio positivo (circonferenza reale)
Se risulta
(il cui primo membro rappresenta il radicando della (5)), ne consegue che il raggio della circonferenza è positivo, quindi l’equazione (3) rappresenta una circonferenza reale.
Esempio:
In tal caso si ha:
Calcolando \(r^2\) elevando al quadrato la (5) risulta:
In tal caso la circonferenza è reale con:
- Centro di coordinate
- Raggio
Caso 2: raggio nullo (circonferenza degenere)
Se risulta
dalla (5) si deduce che il raggio è nullo: \(r=0\). La circonferenza, in tal caso, si riduce a un punto coincidente con il suo centro e prende il nome di circonferenza degenere.
Esempio:
Ci chiediamo se quest’ultima equazione rappresenta una circonferenza.
All’apparenza infatti potrebbe sembrare così, tuttavia se proviamo a calcolare \(r^2\) elevando entrambi i membri della (5) al quadrato, risulterà:
tenendo conto che abbiamo effettuato le seguenti sostituzioni:
In tal caso osserviamo che il raggio \(r\) è pari a zero quindi si tratta di una circonferenza degenere di raggio nullo.
Caso 3: la circonferenza non esiste
Se risulta invece
la (5) diventerebbe assurda nel campo dei reali poiché un quadrato non può mai risultare negativo!
⚠️ In quest’ultimo caso l’equazione (3) non rappresenta alcuna circonferenza reale!
Esempio:
Se proviamo a calcolare la quantità (5) otterremo in questo caso, dopo aver elevato al quadrato ambo i membri:
il che è assurdo, non potendo risultare un quadrato un numero negativo!
Concludiamo pertanto che, in questo caso, l’equazione data non rappresenta alcuna circonferenza reale.
Collegamento con le coniche
La circonferenza appartiene alla famiglia delle coniche. Una conica in generale è rappresentata da una equazione del tipo:
La (6) può definire una parabola, una circonferenza, un ellisse oppure un iperbole a seconda dei valori assunti dai coefficienti.
In particolare, definendo la quantità:
la (6) rappresenterà differenti curve a seconda del segno di \(\Delta\).
In particolare è possibile distinguere i seguenti casi:
- se \(\Delta < 0\) la (6) rappresenta un ellisse o una circonferenza
- se \(\Delta = 0\) → parabola
- se \(\Delta > 0\) → iperbole
La circonferenza si ottiene quando:
- \(b=0\) (manca il termine misto \(xy\))
- \(a=c\) (i coefficienti quadratici sono uguali tra loro)
In tal caso l’equazione (6) si riduce proprio alla forma canonica (3) vista in precedenza.
Esempi svolti sulla circonferenza
Esempio 1
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro \(C(-4,1)\) e raggio 3.
SVOLGIMENTO
In questo caso è possibile applicare direttamente la (1) essendo noto il centro ed il raggio. Dovrà risultare:
Sviluppando i quadrati e riducendo si ottiene:
Esempio 2
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro l’origine e passante per il punto di coordinate \(A(3,6)\).
SVOLGIMENTO
La soluzione in questo caso è immediata e viene fornita dall’equazione (2); tuttavia è necessario preliminarmente ricavare il raggio, in questo caso, come distanza tra l’origine ed il punto \(A\):
In base alla (2) si otterrà quindi:
Esempio 3
Dire se la seguente equazione:
rappresenta una circonferenza ed in caso affermativo determinare centro e raggio.
SVOLGIMENTO
La prima operazione da svolgere è quella di riscrivere l’equazione data nella forma canonica dividendo per 3 e riordinando come segue:
Calcoliamo quindi i coefficienti \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) che risultano rispettivamente:
e successivamente il raggio, utilizzando la (5):
Essendo il raggio positivo, concludiamo che la circonferenza è reale ed è centrata nel punto di coorinate:
Esempio 4
Dire se la seguente equazione:
rappresenta una circonferenza ed in caso affermativo determinare centro e raggio.
SVOLGIMENTO
Notiamo preliminarmente che l’equazione della circonferenza è già scritta in forma normale, quindi procediamo a calcolare direttamente i coefficienti \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\) che risultano rispettivamente:
Successivamente calcoliamo il quadrato del raggio utilizzando la (5):
Poiché \(r^2<0\), la circonferenza non esiste.
Esempio 5
Determinare per quali valori del parametro reale \(k\), l’equazione:
rappresenta una circonferenza.
SVOLGIMENTO
Affinché l’equazione data rappresenti una circonferenza il raggio deve risultare positivo, pertanto utilizzando la (5) possiamo scrivere:
In questo caso i coefficienti dell’equazione risultano:
Effettuando le sostituzioni si ottiene:
Il problema si è quindi ricondotto alla risoluzione di una disequazione di secondo grado in \(k\). Per risolvere tale disequazione moltiplichiamo prima per 4 ambo i membri ottenendo:
Se calcoliamo il \(\Delta\) troviamo che:
Dalla teoria sulle disequazioni di secondo grado sappiamo che la disequazione è in questo caso verificata per ogni valore reale di \(k\), pertanto l’equazione assegnata rappresenta sempre una circonferenza reale indipendentemente dal valore del parametro \(k\).
Conclusione
L’equazione della circonferenza è uno degli strumenti fondamentali della geometria analitica.
Saperla utilizzare permette di riconoscere quando un’equazione rappresenta davvero una circonferenza e di determinarne facilmente le caratteristiche principali.
In particolare, a partire dall’equazione è possibile:
- individuare il centro della circonferenza;
- calcolare il raggio;
- stabilire se l’equazione rappresenta una circonferenza reale, una circonferenza degenere oppure se non esiste alcuna circonferenza reale.
Le tecniche risolutive viste in questa guida sono alla base di molti esercizi di geometria analitica sulla circonferenza.
Nei prossimi articoli approfondiremo alcuni problemi classici, come lo studio della posizione reciproca tra retta e circonferenza, la determinazione delle tangenti e la ricerca della circonferenza passante per tre punti.