circonferenza passante per tre punti

Circonferenza passante per tre punti: metodo analitico con esempi passo passo

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Determinare l’equazione di una circonferenza passante per tre punti è uno dei problemi classici della geometria analitica.

In particolare, se sono noti tre punti distinti del piano cartesiano (non allineati), è possibile determinare l’equazione della circonferenza che li contiene (e quindi passante per tutti e tre i punti) mediante un semplice procedimento algebrico.

Questo problema compare molto frequentemente negli esercizi di matematica del liceo e non solo, in quanto permette di applicare contemporaneamente diversi concetti come:

  • l’equazione generale della circonferenza
  • la sostituzione delle coordinate dei punti
  • la risoluzione di un sistema di equazioni

In questo articolo vedremo:

  • quando esiste una circonferenza passante per tre punti
  • il metodo analitico passo passo
  • una procedura rapida da usare negli esercizi
  • diversi esempi svolti completamente
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1 Quando esiste una circonferenza passante per tre punti
2 Richiami sull’equazione generale della circonferenza
3 Breve richiamo su “come trovare centro e raggio di una circonferenza”
4 Metodo analitico per determinare la circonferenza per tre punti
4.1 Esempio 1
4.2 Esempio 2
4.3 Esempio 3
5 Schema rapido per gli esercizi
6 Esercizi da risolvere (con soluzione finale)
7 Metodo geometrico
8 Errori comuni negli esercizi
9 Conclusione

Quando esiste una circonferenza passante per tre punti

Tre punti distinti del piano determinano una e una sola circonferenza, purché non siano allineati.

Se infatti i tre punti appartenessero alla stessa retta, non sarebbe possibile individuare una circonferenza che li contenga tutti e tre.

In altre parole:

  • tre punti distinti non allineati → esiste una sola circonferenza
  • tre punti allineati → nessuna circonferenza

Geometricamente ciò accade perché tre punti non allineati determinano i vertici un triangolo e ogni triangolo possiede una circonferenza circoscritta ad esso (Fig.1).

circonferenza circoscritta ad un triangolo passante per tre punti
Fig.1 – Circonferenza circoscritta ad un generico triangolo di vertici \(A\), \(B\), \(C\).

Richiami sull’equazione generale della circonferenza

Il metodo analitico per trovare la circonferenza passante per tre punti parte sempre dalla forma generale dell’equazione della circonferenza:

\[x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\tag{1}\]

dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono parametri reali da determinare.

Si nota che i parametri incogniti \(a\), \(b\) e \(c\) sono tre: serviranno pertanto tre equazioni indipendenti tra loro per determinarli.

Per un approfondimento completo sull’argomento, calcolo del raggio, centro e le relative condizioni di esistenza puoi consultare la sezione dedicata alla forma generale dell’equazione della circonferenza.

Breve richiamo su “come trovare centro e raggio di una circonferenza”

Dopo aver trovato l’equazione della circonferenza può essere utile determinare centro e raggio.

Se l’equazione è

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

allora:

Il centro \(C\) ha coordinate:

\[C=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)\tag{2}\]

Mentre il raggio \(r\) può calcolarsi come:

\[r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}-c}\tag{3}\]

Metodo analitico per determinare la circonferenza per tre punti

Supponiamo che siano dati i tre punti:

\[A(x_1,y_1),\quad B(x_2,y_2),\quad C(x_3,y_3)\]

Descriviamo il procedimento passo-passo da seguire per pervenire all’equazione analitica della circonferenza in forma canonica.

PROCEDIMENTO

1. Scrivere l’equazione generale della circonferenza

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

2. Sostituire le coordinate del primo punto

Poiché il punto \(A\) appartiene alla circonferenza, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione:

\[x_1^2+y_1^2+ax_1+by_1+c=0\]

3. Sostituire le coordinate del secondo punto (punto \(B\))

\[x_2^2+y_2^2+ax_2+by_2+c=0\]

4. Sostituire le coordinate del terzo punto (punto \(C\))

\[x_3^2+y_3^2+ax_3+by_3+c=0\]

5. Risolvere il sistema

Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite \(a,b,c\):

\[\left\{\begin{matrix}x_1^2+y_1^2+ax_1+by_1+c=0\\x_2^2+y_2^2+ax_2+by_2+c=0\\x_3^2+y_3^2+ax_3+by_3+c=0\end{matrix}\right.\]

Risolvendo tale sistema si determinano i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\).

6. Scrivere l’equazione finale

Sostituendo i valori trovati nell’equazione generale (1) si ottiene l’equazione della circonferenza cercata.

Esempio 1

Determinare la circonferenza passante per i punti:

\[A(1,0),\quad B(0,1),\quad C(2,1)\]

SOLUZIONE

Scriviamo l’equazione generale

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

Sostituiamo le coordinate del punto A all’equazione

\[1^2+0^2+a(1)+b(0)+c=0\] \[1+a+c=0\]

Sostituiamo le coordinate del punto B

\[0^2+1^2+a(0)+b(1)+c=0\] \[1+b+c=0\]

Analogamente sostituiamo le coordinate del punto C

\[2^2+1^2+2a+b+c=0\] \[5+2a+b+c=0\]

Otteniamo così il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:

\[\left\{\begin{matrix}1+a+c=0\\1+b+c=0\\5+2a+b+c=0\end{matrix}\right.\]

Andiamo adesso alla risoluzione del sistema.

Dalle prime due equazioni si ha:

\[a=−1−c\] \[b=−1−c\]

Sostituendo nella terza:

\[5+2(−1−c)+(−1−c)+c=0\] \[5−2−2c−1−c+c=0\] \[2-2c=0\] \[c=1\]

Quindi

\[a=b=-2\]

Sostituendo i valori \(a\), \(b\) e \(c\) all’equazione generale si ottiene l’equazione della circonferenza:

\[x^2+y^2-2x-2y+1=0\]

che è il risultato del problema.

circonferenza per tre punti esempio1
Fig.2 – Circonferenza passante per i punti A,B, e C. Notiamo che la circonferenza in questo caso è tangente ad entrambi gli assi.

Esempio 2

Determinare la circonferenza passante per:

\[A(0,0),\quad B(2,0),\quad C(0,2)\]

SOLUZIONE

Procedendo alle sostituzioni come già visto nell’Esercizio1, si ottiene:

per \(A(0,0)\)

\[c=0\]

per \(B(2,0)\)

\[4+2a=0\] \[a=-2\]

per \(C(0,2)\)

\[4+2b=0\] \[b=-2\]

L’equazione della circonferenza è pertanto:

\[x^2+y^2-2x-2y=0\]
circonferenza passante per tre punti esempio2
Fig.3 – Circonferenza passante per i tre punti noti A,B e C. In questo caso la circonferenza passa per l’origine.

Esempio 3

Determinare la circonferenza passante per i punti:

\[A(2,1),\quad B(3,0),\quad C(4,3)\]

SOLUZIONE

Equazione generale

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

Effettuiamo adesso le solite sostituzioni.

Punto A

\[2^2+1^2+2a+b+c=0\] \[5+2a+b+c=0\]

Punto B

\[3^2+3a+c=0\] \[9+3a+c=0\]

Punto C

\[4^2+3^2+4a+3b+c=0\] \[25+4a+3b+c=0\]

Sistema ottenuto:

\[\left\{\begin{matrix}5+2a+b+c=0\\9+3a+c=0\\25+4a+3b+c=0\end{matrix}\right.\]

A questo punto risolviamo il sistema.

Dalla seconda:

\[c=-9-3a\]

Sostituendo nella prima:

\[5+2a+b−9−3a=0\] \[−4−a+b=0\] \[b=a+4\]

Sostituendo nella terza:

\[25+4a+3(a+4)−9−3a=0\] \[25+4a+3a+12-9−3a=0\] \[28+4a=0\] \[a=-7\]

Quindi

\[b=-7+4=-3\] \[c=-9-3(-7)=12\]

Equazione finale

\[x^2+y^2-7x-3y+12=0\]

Le coordinate del centro, dalla (2), risultano:

\[\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},\frac{3}{2}\right)\]

Mentre il raggio \(r\) può essere ricavato dalla (3) come:

\[r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}-c}=\] \[=\sqrt{\frac{(-7)^2+(-3)^2}{4}-12}=\frac{\sqrt{10}}{2}\]
circonferenza passante per tre punti esempio3
Fig.4 – Circonferenza passante per tre punti. La circonferenza è secante l’asse \(x\) in due punti distinti.

Schema rapido per gli esercizi

Per risolvere velocemente gli esercizi è utile ricordare questo schema:

Passaggi operativi

  1. Scrivere: \(x^2+y^2+ax+by+c=0\)
  2. Sostituire i tre punti uno alla volta
  3. Ottenere un sistema di tre equazioni
  4. Risolvere il sistema in \(a\), \(b\) e \(c\)
  5. Scrivere l’equazione della circonferenza sostituendo i valori di \(a\), \(b\) e \(c\) ottenuti dalla risoluzione del sistema

Esercizi da risolvere (con soluzione finale)

ESERCIZIO 1

Determinare la circonferenza passante per i punti \(A(-1,1)\), \(B(2,2)\), \(C(3,0)\)

Soluzione [\(x^2+y^2-4x-4y+3=0\)]

ESERCIZIO 2

Determinare la circonferenza passante per i punti \(A(0,1/2)\), \(B(1,1)\), \(C(3/2,0)\)

Soluzione [\(x^2+y^2-3x-2y+\frac{5}{4}=0\)]

ESERCIZIO 3

Determinare la circonferenza passante per i punti \(A(-1/2,1)\), \(B(1/2,-1)\), \(C(1,3/2)\)

Soluzione [\(x^2+y^2-\frac{3}{2}x-2y+\frac{7}{4}=0\)]

Metodo geometrico

Per risolvere il problema del calcolo della circonferenza passante per tre punti, esiste anche un metodo geometrico basato sugli assi dei lati del triangolo inscritto alla circonferenza.

Infatti, se si costruiscono gli assi dei lati del triangolo formato dai tre punti costituenti i vertici del triangolo, il loro punto di intersezione è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Una volta trovato il centro è possibile determinarne il raggio e quindi scrivere l’equazione della circonferenza nella forma:

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]

Tuttavia negli esercizi di algebra viene quasi sempre richiesto il metodo analitico con sistema di equazioni, perché è più sistematico.

Errori comuni negli esercizi

⚠️ Gli errori più frequenti quando si determina una circonferenza passante per tre punti sono:

  • dimenticare il termine \(x^2+y^2\) (l’equazione della circonferenza deve sempre contenerlo)
  • errori nei calcoli delle sostituzioni
  • risolvere male il sistema
  • non controllare il risultato

È sempre buona pratica verificare l’equazione della circonferenza ottenuta sostituendo le coordinate dei tre punti (uno per volta) ed accertandosi che questa si riduca ad una identità.

Se il risultato è corretto, l’equazione deve annullarsi per ciascun punto.

Conclusione

Determinare la circonferenza passante per tre punti è un esercizio classico della geometria analitica.

Il procedimento si basa su un’idea molto semplice:

  • si parte dall’equazione generale della circonferenza
  • si sostituiscono le coordinate dei tre punti
  • si risolve il sistema ottenuto

Questo metodo consente di determinare in modo sistematico l’equazione della circonferenza e, successivamente, di ricavarne anche centro e raggio.

Con un po’ di pratica il procedimento diventa molto rapido e permette di risolvere facilmente la maggior parte degli esercizi assegnati nei compiti e negli esami di matematica.

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