Un importante problema della geometria analitica è quello di determinare la posizione reciproca tra una retta ed una circonferenza.
Risulterà abbastanza chiaro intuire che la posizione reciproca tra una retta e una circonferenza dipende sostanzialmente dal numero di punti che esse hanno in comune nel piano cartesiano.
In particolare, si presentano tre casi fondamentali:
- Rette secanti: intersecano la circonferenza in due punti distinti.
- Rette tangenti: i punti di intersezione coincidono con lo stesso punto (si hanno pertanto due punti coincidenti).
- Rette esterne: non hanno punti in comune con la circonferenza.
Metodo analitico per determinare la posizione reciproca tra retta e circonferenza: i tre casi
Per determinare la posizione reciproca tra una retta e una circonferenza e quindi trovare i relativi punti di intersezione è sufficiente risolvere il sistema formato dalle rispettive equazioni.
In particolare, se si considera il sistema formato dalle equazioni
dove
rappresenta l’equazione della circonferenza e
l’equazione della retta, possono distinguersi, come anticipato, tre casi distinti: retta secante, tangente oppure esterna alla circonferenza data.
A tali casi possono essere fatte coincidere tre precise condizioni analitiche che consentono di determinare se la retta è appunto secante, tangente, oppure esterna alla circonferenza.
RETTA SECANTE ALLA CIRCONFERENZA
Per il caso di retta secante, dovranno trovarsi due punti distinti \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\) che rappresentano i rispettivi punti di intersezione tra circonferenza e retta. Conseguentemente, in tal caso, il problema si riduce a risolvere il sistema (1) dove risulterà la condizione analitica di discriminante positivo, in formule:
⚠️ Una precisazione importante per evitare errori: il \(\Delta\) è relativo all’equazione risolvente risultante dal sistema (1), dopo aver eliminato una incognita. Un errore spesso frequente è quello di considerare i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) della retta e di calcolare \(\Delta=b^2-4ac\). Ciò porterebbe ad un errore concettuale poiché si starebbe tentando di applicare il concetto di discriminante ad una equazione di primo grado. Un errore comune!
RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA
Nel caso di retta tangente, i punti \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\) sono coincidenti tra loro, pertanto risulterà
essendo stavolta nullo il discriminante, e quindi avremo
nell’equazione risolvente il sistema (1). L’equazione risolvente si può ottenere semplicemente sostituendo l’equazione della retta (3) nell’equazione della circonferenza (2) del sistema (1) dopo aver esplicitato una delle due variabili.
RETTA ESTERNA ALLA CIRCONFERENZA
Nel caso in cui la retta e la circonferenza non hanno alcun punto di intersezione comune, il sistema (1) non ammetterà soluzione. In tal caso dovrà necessariamente risultare
In quest’ultimo caso diremo che la retta è esterna alla circonferenza.
Nel seguito mostriamo invece una serie di applicazioni numeriche per chiarire meglio quanto detto per ciascuno dei tre casi.
Esempio di retta secante (Δ > 0)
Se il discriminante è positivo, il sistema (1) ha due soluzioni reali distinte: la retta interseca la circonferenza in due punti distinti ed è quindi secante ad essa.
Data la circonferenza:
e la retta:
determinare la posizione reciproca tra retta e circonferenza.
SOLUZIONE
Dalle due equazioni si ottiene il seguente sistema:
Per risolverlo, sostituiamo la seconda equazione nella prima ottenendo:
Semplificando e sviluppando i quadrati si ottiene:
A questo punto calcoliamo il delta dell’equazione finale così ottenuta; si avrà:
da cui ricaviamo immediatamente i valori delle ascisse dei punti di intersezione:
Si ottengono due soluzioni reali e distinte, quindi la retta è secante la circonferenza (Fig.1).
Per ottenere le ordinate dei punti possiamo procedere utilizzando una delle due equazioni (ad esempio la retta) effettuando le sostituzioni del valori \(x_{1,2}\):
Esempio di retta tangente (Δ = 0)
Se il discriminante dell’equazione risolvente il sistema (1) è nullo, si ottengono due soluzioni reali e coincidenti: la retta in tal caso ha un solo punto in comune con la circonferenza ed è tangente in tale punto.
Data la circonferenza:
e la retta verticale di equazione:
determinare la posizione reciproca tra retta e circonferenza.
SOLUZIONE
Ponendo a sistema le equazioni date si ottiene:
che può risolversi semplicemente sostituendo la seconda nella prima ottenendo così:
Semplificando si ha
che può scriversi anche
che ha come soluzione le due radici coincidenti
Avendo ottenuto due soluzioni coincidenti, concludiamo che la retta di equazione \(x=7\) è tangente la circonferenza in un unico punto di coordinate \(A(7,3)\) (Fig.2).
Esempio di retta esterna (Δ < 0)
Se il discriminante è negativo il sistema (1) non ammette soluzioni reali: la retta non ha punti in comune con la circonferenza ed è esterna ad essa.
Data la circonferenza di equazione
e la retta
si determini la posizione reciproca tra la retta e la circonferenza data.
SOLUZIONE
Ponendo a sistema le equazioni date si ottiene:
Sostituendo al solito la seconda nella prima equazione otteniamo:
quindi sviluppando i quadrati e semplificando
Adesso dividiamo per 2 ambo i membri per semplificare ulteriormente
Il discriminante dell’ultima equazione è:
Risultando il discriminante negativo concludiamo che non esistono radici reali per il sistema (1), conseguentemente non esisterà alcun punto di intersezione tra retta e circonferenza. Per tali motivi la retta dovrà risultare necessariamente esterna alla circonferenza (Fig.3).
Esempio con parametro k
Sia data la circonferenza di equazione
e la retta di equazione
determinare per quali valori del parametro \(k\) la retta risulta secante, tangente oppure esterna alla circonferenza.
SOLUZIONE
Procedendo in analogia ai casi visti in precedenza, sostituiamo l’equazione della retta nell’equazione della circonferenza; si ottiene:
Sostituendo:
Adesso procediamo al calcolo del discriminante:
Siamo così pervenuti ad un discriminante dell’equazione risolvente il sistema (1) in funzione del parametro \(k\), pertanto è necessario a questo punto effettuare lo studio del segno del discriminante e determinare i valori di \(k\) tali per cui \(\Delta\) è positivo (retta secante), negativo (retta esterna) o nullo (retta tangente).
Bene, ricordandoci la procedura per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado otteniamo che:
che è positivo se
e quindi per
Per tali valori di \(k\) la retta sarà pertanto secante la circonferenza.
Infine, per
la retta risulterà tangente alla circonferenza, poiché per tali valori di \(k\) il discriminante si annulla,
mentre per
risulterà negativo. In tale ultimo caso non vi saranno intersezioni tra circonferenza e retta e quest’ultima risulterà esterna.
Posizione retta-circonferenza (k variabile)
Valore di k: 0
Un metodo alternativo: distanza punto-retta
Il metodo analitico basato sul discriminante non è l’unico modo per determinare la posizione reciproca tra retta e circonferenza. Un’alternativa molto efficace si basa sulla distanza del centro della circonferenza dalla retta.
L’idea è la seguente:
- si considera il centro della circonferenza \(C(x_0,y_0)\)
- si calcola la distanza del punto C dalla retta
- si confronta tale distanza con il raggio \(r\)
Si ottengono tre casi:
- distanza > r → retta esterna
- distanza = r → retta tangente
- distanza < r → retta secante
Questo metodo alternativo è spesso più rapido ed intuitivo in quanto basato sul concetto di distanza, ciò consente di avere un controllo più immediato del risultato. A tal proposito, ti consigliamo quindi di approfondire l'argomento relativo al calcolo della distanza di un punto da una retta che rappresenta lo strumento fondamentale per la risoluzione del problema con tale metodo alternativo.
Conclusioni
La posizione reciproca tra una retta e una circonferenza è un concetto centrale della geometria analitica e si basa su un criterio semplice ma molto potente: il numero di punti in comune.
Attraverso il metodo analitico, la classificazione si riduce allo studio del discriminante di un’equazione di secondo grado:
- Δ > 0 → la retta è secante
- Δ = 0 → la retta è tangente
- Δ < 0 → la retta è esterna
N.B. Questo approccio consente di determinare la posizione in modo rigoroso, senza ricorrere al grafico, ed è particolarmente utile negli esercizi.
Allo stesso tempo, è importante conoscere anche metodi alternativi, come quello della distanza punto-retta, che offrono una lettura geometrica e immediata del problema.
In conclusione, padroneggiare entrambi i metodi permette non solo di risolvere correttamente gli esercizi, ma anche di sviluppare una comprensione più profonda del legame tra algebra e geometria.