Il valore assoluto (o modulo) è uno dei concetti fondamentali della matematica. Lo incontriamo già nei primi anni di scuola secondaria, ma accompagna lo studio dell’algebra fino all’università. In questo articolo scopriremo cos’è il valore assoluto, quali sono le sue proprietà principali e, soprattutto, come risolvere le equazioni con valore assoluto, sia di primo che di secondo grado, con 8 esempi svolti passo per passo.
Cos’è il valore assoluto?
Il valore assoluto di un numero reale rappresenta la sua distanza dallo zero sulla retta numerica, indipendentemente dal segno. Il simbolo di valore assoluto è costituito due barre verticali | | e si definisce così:
si deduce pertanto che il valore assoluto
- di un numero positivo o nullo è il numero stesso;
- di un numero negativo è il suo opposto (cioè reso positivo).
Esempi di base
| Valore | Spiegazione | |
|---|---|---|
| |5| | 5 | È già positivo |
| |-3| | 3 | Si cambia il segno |
| |0| | 0 | Lo zero è neutro |
Interpretazione geometrica
Sulla retta dei numeri reali, ogni punto corrisponde a un numero. La distanza tra il punto x e lo zero è sempre positiva, ed è proprio il modulo di x.
Esempi:
- Il punto -4 è a 4 unità dallo zero → |-4|=4
- Il punto +4 è anch’esso a 4 unità dallo zero → |4|=4
Proprietà fondamentali del valore assoluto
- Non negatività: |x|≥0
- Simmetria: |x|=|-x|
- Prodotto: |x·y|=|x|·|y|
- Divisione: |x/y|=|x|/|y|, con y ≠ 0
- Disuguaglianza triangolare: |x + y|≤|x| + |y|
Come risolvere un’equazione con valore assoluto
Per risolvere un’equazione che contiene un valore assoluto, bisogna eliminare il valore assoluto trasformandola in due equazioni, una positiva e una negativa.
Regola generale
Se abbiamo: |A|=B
- Se B < 0 → nessuna soluzione
- Se B = 0 → A = 0
- Se B > 0 → due casi:
- A = B
- A = -B
Equazioni con valore assoluto di primo grado
Esempio 1
|x|=7
Due casi:
- x = 7
- x = -7
✅ Soluzioni: x = 7 oppure x = -7
Esempio 2
|x – 3|=5
Due casi:
- x – 3 = 5 → x = 8
- x – 3 = -5 → x = -2
✅ Soluzioni: x = 8 e x = -2
Esempio 3
|2x + 1|=3
Due casi:
- 2x + 1 = 3 → 2x = 2 → x = 1
- 2x + 1 = -3 → 2x = -4 → x = -2
✅ Soluzioni: x = 1 e x = -2
Esempio 4
|x + 4|=|2x – 1|
Due casi:
- x + 4 = 2x – 1 → x = 5
- x + 4 = -(2x – 1) → x + 4 = -2x + 1 → 3x = -3 → x = -1
✅ Soluzioni: x = 5 e x = -1
Equazioni con valore assoluto di secondo grado
Esempio 5
|x^2 – 4|=0
Risoluzione:
- x² – 4 = 0 → x² = 4 → x = 2 oppure x = -2
✅ Soluzioni: x = 2, x = -2
Esempio 6
|x^2 – 9|=3
Due casi:
- x² – 9 = 3 → x² = 12 → x = ±√12 = ±2√3
- x² – 9 = -3 → x² = 6 → x = ±√6
✅ Soluzioni: x = ±2√3, x = ±√6
Esempio 7
|x^2 – 2x|=3
Due casi:
- x² – 2x = 3 → x² – 2x – 3 = 0 → (x – 3)(x + 1) = 0 → x = 3 oppure x = -1
- x² – 2x = -3 → x² – 2x + 3 = 0 → Δ = -8 → nessuna soluzione reale
✅ Soluzioni: x = 3 e x = -1
Esempio 8
|x^2 – 5x + 6|=2
Due casi:
- x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 4 = 0 → Δ = 9 → x = (5 ± 3)/2 → x = 4 o x = 1
- x² – 5x + 6 = -2 → x² – 5x + 8 = 0 → Δ = -7 → nessuna soluzione reale
✅ Soluzioni: x = 1 e x = 4
Schema generale per risolvere le equazioni con valore assoluto
Per non sbagliare, segui questi passaggi chiave:
- Isola il valore assoluto: |A| = B
- Se B < 0 → nessuna soluzione
- Se B = 0 → A = 0
- Se B > 0 → due casi: A = B oppure A = -B
- Risolvi le due equazioni ottenute (lineari o quadratiche)
Cenni sulle disuguaglianze con valore assoluto
- |x| < a → -a < x < a
- |x| > a → x < -a oppure x > a
Esempio: |x| < 3 → -3 < x < 3
Applicazioni
Il valore assoluto è utilizzato in moltissimi ambiti:
- Fisica: per indicare distanze, velocità o grandezze sempre positive.
- Statistica: nella deviazione assoluta e negli errori di misura.
- Informatica: per calcolare differenze tra numeri o posizioni.
- Analisi matematica: per esprimere la distanza tra due punti (|x – y| indica la distanza tra x e y).
Riepilogo finale
| Cosa ricordare | |
|---|---|
| Definizione | Il valore assoluto è la distanza di un numero dallo zero |
| Formula | |x| = x se x ≥ 0, |x| = -x se x < 0 |
| Proprietà | Non negatività, simmetria, moltiplicazione, divisione, diseguaglianza triangolare |
| Equazioni base | |A| = B → A = B oppure A = -B |
| Soluzioni negative | Nessuna se B < 0 |
Conclusione
Il valore assoluto è uno strumento semplice ma potente: ci aiuta a comprendere il concetto di distanza e a gestire situazioni in cui il segno non conta. Sapere risolvere le equazioni sia di primo che di secondo grado, è fondamentale per affrontare esercizi di algebra, analisi e geometria con sicurezza.