Disequazioni irrazionali: spiegazione completa, metodo di risoluzione ed esempi

Le disequazioni irrazionali sono un tipo di disequazioni in cui l’incognita compare all’interno di una radice quadrata, cubica o di altro indice.
Sono molto comuni nei problemi di algebra e analisi, e rappresentano un passaggio fondamentale nello studio delle equazioni e disequazioni di secondo grado.

Risolvere una disequazione irrazionale significa trovare i valori dell’incognita che rendono vera l’espressione, tenendo conto che, a causa delle radici, il dominio (cioè l’insieme dei valori ammessi) gioca un ruolo cruciale.

In questa guida imparerai passo per passo:

• cos’è una disequazione irrazionale e come riconoscerla;
• le tecniche principali di risoluzione;
• esempi pratici di difficoltà crescente;
• gli errori più comuni da evitare;
• un riepilogo con esercizi e soluzioni.

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La spiegazione completa è disponibile anche in formato video.

Videolezione su “Disequazioni Irrazionali | Guida completa + Esercizi passo passo”

Il video propone una guida completa alle disequazioni irrazionali, adatta sia a studenti delle scuole superiori sia universitari.
La spiegazione include teoria, esempi pratici ed esercizi svolti passo passo, con un approccio sistematico e rigoroso.

Argomenti trattati nel video

00:00 Introduzione alle disequazioni irrazionali

00:53 Esempi, forme e dominio

03:28 Come risolvere una disequazione irrazionale (teoria completa)

07:36 Esercizio svolto N.1

11:25 Esercizio svolto N.2

12:03 Esercizio svolto N.3

15:41 Esercizio svolto N.4

19:16 Esercizio svolto N.5

22:46 Esercizio svolto N.6

25:16 Esercizio svolto N.7

28:38 Esercizio svolto N.8

31:10 Esercizi aggiuntivi con soluzione

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Cos’è una disequazione irrazionale

Una disequazione irrazionale è una disuguaglianza che contiene l’incognita sotto il segno di radice.
Esempio tipico:

oppure

In generale, la forma può essere ricondotta ad una delle seguenti tipologie:

Il dominio: il primo passo fondamentale

Prima di qualsiasi manipolazione, bisogna individuare il dominio della disequazione, ossia l’insieme dei valori per cui tutte le radici hanno senso.
Ad esempio, nella disequazione:

possiamo calcolare il dominio imponendo che il radicando sia non negativo:

Solo questi valori sono ammessi: per tutti gli altri la radice non è definita nei numeri reali.

⚠️ Errore comune: dimenticare di imporre il dominio porta a soluzioni “false” che non esistono realmente.

Strategie generali di risoluzione delle disequazioni irrazionali

Le strategie cambiano in base al tipo di radice e alla posizione dell’incognita.

Vediamo di seguito i principali due casi risolutivi, nella maggior parte dei casi infatti tutti gli altri sono riconducibili ad essi.

1° Caso – La disequazione irrazionale si trova nella forma

dove f(x) e g(x) sono espressioni contenenti la x.

Notiamo che, se n è pari, la radice esiste solo se

ed il radicale ha valore positivo o al più nullo.

Invece se n è dispari per risolvere la disequazione irrazionale basterà elevare primo e secondo membro alla potenza n-esima e risolvere la disequazione ottenuta in maniera del tutto equivalente

Riassumendo, per n dispari, si ha

\[f(x)>\sqrt[n]{g(x)}\rightarrow\left[f(x)\right]^n>g(x)\]

se n dispari

Se invece n è pari, come già anticipato, dovrà risultare g(x) positiva o al più nulla (affinché abbia senso il radicale), ma anche f(x) risulterà positiva perché siamo sotto l’ipotesi in cui f(x) è maggiore della radice n-esima di g(x). Sotto queste ipotesi, è pertanto possibile elevare ancora una volta primo e secondo membro alla potenza n-esima e risolvere.

Per n pari si ha quindi la seguente soluzione

2° Caso – La disequazione irrazionale si trova nella forma

Se n è dispari basterà elevare, al solito, ambo i membri per la potenza n-esima così da potere risolvere la disequazione ottenuta, si avrà pertanto

\[f(x)<\sqrt[n]{g(x)}\rightarrow\left[f(x)\right]^n<g(x)\]

se n dispari

Se invece n risulta intero positivo pari osserviamo ancora una volta che dovrà risultare il radicando positivo, tuttavia la disequazione può essere stavolta verificata sia se f(x) è positiva, sia che f(x) risulti negativa.

Si ottengono così i seguenti sistemi risolventi:

Notiamo che nell’ultimo sistema (di destra) la seconda disequazione risulta implicitamente verificata dalla terza, infatti per n pari f(x) elevato ad un numero pari è certamente positivo e pertanto dovendo risultare g(x) maggiore della potenza n-esima di f(x) (che è positiva) sarà anche essa certamente positiva.

Tale ultimo sistema può quindi essere ridotto al seguente:

Osservazioni

• Nel caso in cui f(x) è una costante a le disequazioni si riducono nella forma:

oppure

Nel caso di n dispari si procede alla risoluzione effettuando l’elevamento a potenza n-esima.

Nel caso di n pari bisogna ricordare che la radice n-esima di g(x) è, se esiste, positiva o nulla pertanto nelle ultime due equazioni è possibile elevare al quadrato soltanto se risulta a>0.

ESEMPI SVOLTI PASSO-PASSO: disequazioni irrazionali

ESEMPIO 1

Risolvere la seguente disequazione:

$$\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}\ge 0$$

1) Dominio di definizione

La radice quadrata richiede che il radicando sia maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero:

$$\frac{x-2}{x-1}\ge 0,x\ne 1$$

Studiamo il segno della frazione:

• Il numeratore $x-2$ cambia segno in $x=2$.
• Il denominatore $x-1$ cambia segno in $x=1$.

Costruiamo una tabella di segno (solo logicamente, senza disegnare):

Per valori di $x$:

• $x<1$: numeratore −, denominatore − ⇒ frazione positiva.
• $1<x<2$: numeratore −, denominatore + ⇒ frazione negativa.
• $x>2$: numeratore +, denominatore + ⇒ frazione positiva.

Quindi la frazione è maggiore o uguale a zero per:

$$(-\infty ,1)\cup [2,\infty )$$

2) Effetto della radice quadrata

La radice quadrata è definita e reale solo quando il radicando è maggiore o uguale a zero, quindi il dominio effettivo della disequazione coincide con:

$$(-\infty ,1)\cup [2,\infty )$$

In tale dominio, la radice quadrata restituisce valori non negativi.

3) Analisi del segno

Poiché la radice quadrata di un numero non negativo è sempre maggiore o uguale a zero, la disequazione $\sqrt{\frac{x-2}{x-1}}\ge 0$ è sempre verificata nel dominio stesso.

4) Soluzione

Dunque la soluzione è:

$$S=(-\infty ,1)\cup [2,\infty )$$

ESEMPIO 2

Risolvere la seguente disequazione irrazionale:

$$\sqrt{2x-3}<7$$

1) Dominio di definizione

La radice quadrata è definita solo se il radicando è maggiore o uguale a zero:

$$2x-3\ge 0$$

Da cui si ricava: $x\ge \frac{3}{2}$

2) Rimozione della radice

Poiché la funzione radice quadrata è crescente e restituisce solo valori non negativi, possiamo elevare al quadrato entrambi i membri senza cambiare il verso della disequazione (nel dominio definito):

$$\sqrt{2x-3}<7⟺2x-3<49$$

3) Risoluzione della disequazione lineare

$$2x-3<49$$

$$2x<52$$

$$x<26$$

4) Intersezione con il dominio

Si devono soddisfare contemporaneamente:

$$x\ge \frac{3}{2}\wedge x<26$$

Pertanto la soluzione è:

$$S=[\frac{3}{2},26)$$

5) Verifica di coerenza

• Per x = 3/2: radicando = 0 ⇒ √0 = 0 < 7 ✅
• Per x = 26: radicando = 49 ⇒ √49 = 7 ❌ (non strettamente minore)

Conclusione: la disequazione è verificata per $x\in [\frac{3}{2},26)$.

ESEMPIO 3

Risolvere la seguente disequazione:

$$\sqrt[3]{x^3-8}<x-2$$

1) Dominio di definizione

La radice cubica (indice dispari) è definita per tutti i numeri reali, dunque il dominio è $ℝ$.

2) Proprietà della funzione radice cubica

La funzione $f\left(t\right)=\sqrt[3]{t}$ è monotona crescente su $ℝ$. Pertanto si può elevare al cubo ambo i membri senza cambiare il verso:

$${\sqrt[3]{x^3-8}}^3<{(x-2)}^3$$

3) Semplificazione

Sviluppiamo il cubo a destra:

$$(x-2){}^3=x^3-6x^2+12x-8$$

Sostituiamo nella disequazione:

$$x^3-8<x^3-6x^2+12x-8$$

4) Riduzione

Sottraiamo $x^3-8$ da entrambi i membri:

$$0<-6x^2+12x$$

Moltiplichiamo per −1 (invertendo il verso):

$$0>6x^2-12x$$

ovvero:

$$6x^2-12x<0$$

Dividendo per 6:

$$x^2-2x<0$$

5) Studio del segno

Fattorizziamo:

$$x(x-2)<0$$

Il prodotto è negativo quando i due fattori hanno segno opposto, ossia per:

$$0<x<2$$

6) Soluzione

Gli estremi 0 e 2 non appartengono alla soluzione poiché la disuguaglianza è stretta.

$$S=(0,2)$$

ESEMPIO 4

Risolvere la seguente disequazione:

$$\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-3}<0$$

1) Dominio di definizione

Affinché entrambe le radici quadrate siano reali, i radicandi devono essere maggiori o uguali a zero:

$$2x-7\ge 0⟹x\ge \frac{7}{2}=3.5$$

e $x-3\ge 0⟹x\ge 3$.

Il dominio comune è quindi:

$$x\ge 3.5$$

2) Interpretazione della disequazione

All’interno del dominio, entrambi i termini $\sqrt{2x-7}$ e $\sqrt{x-3}$ sono non negativi. La disequazione

$$\sqrt{2x-7}-\sqrt{x-3}<0$$

è equivalente a $\sqrt{2x-7}<\sqrt{x-3}$, poiché si può sommare $\sqrt{x-3}$ ad entrambi i membri.

3) Elevazione al quadrato

Poiché entrambe le radici sono non negative nel dominio, possiamo elevare al quadrato senza cambiare il verso:

$$2x-7<x-3$$

Risolvendo:

$$2x-x<\mathrm{-3}+7⟹x<4$$

4) Intersezione con il dominio

Intersecando la soluzione ottenuta con il dominio $x\ge 3.5$ otteniamo:

$$\frac{7}{2}\le x<4$$

Soluzione finale

$$S=[\frac{7}{2},4)$$

Errori comuni da evitare

1. Dimenticare il dominio.
   Molti studenti risolvono la disequazione senza controllare il dominio e ottengono risultati errati.
2. Elevare al quadrato senza verificare i segni.
   Ricorda: puoi elevare al quadrato una disuguaglianza solo se entrambi i membri sono non negativi.
3. Non controllare le soluzioni ottenute.
   Dopo aver risolto, sostituisci i valori trovati nella disequazione iniziale per verificare che funzionino.
4. Semplificazioni scorrette con radici.
   Evita di “togliere” la radice senza considerare la direzione della disequazione.

Come affrontare le disequazioni irrazionali nei test

Quando affronti un esercizio di questo tipo:

• Scrivi chiaramente il dominio.
• Isola la radice se necessario.
• Eleva al quadrato e semplifica con calma.
• Risolvi la disequazione risultante.
• Interseca la soluzione con il dominio iniziale.
• Controlla sempre le soluzioni trovate.

Riepilogo dei passaggi chiave

Passaggio	Descrizione
1. Dominio	Imporre che i radicandi siano ≥ 0 (solo per indice pari).
2. Isolamento	Mettere una radice da una parte sola.
3. Elevazione	Elevare al quadrato (o potenza pari).
4. Risoluzione	Risolvere la disequazione risultante.
5. Intersezione	Confrontare con il dominio iniziale.

Esercizi riepilogativi

Prova a risolvere queste disequazioni irrazionali da solo

👉 Suggerimento: ricordati sempre il dominio prima di iniziare.

Esercizio	Soluzione
$\sqrt{x+3}<5$	x < 22
$\sqrt{2x-1}\ge x-2$	x ∈ [0.5, 3]
$\sqrt{x-2}<4-x$	x ∈ [2, 3.56]
$\sqrt{3x+1}\le 2x-1$	x ≥ 1
$\sqrt{x^2-4}>x-3$	x < −2 oppure x > 3

Domande frequenti (FAQ)

Che cosa sono le disequazioni irrazionali?

Sono disequazioni in cui l’incognita compare sotto il segno di radice. Richiedono di considerare il dominio e di elevare al quadrato per eliminarla.

Posso sempre elevare al quadrato una disequazione irrazionale?

Solo se entrambe le parti sono non negative. Altrimenti il verso della disequazione può cambiare e si introducono soluzioni false.

Come si trova il dominio di una disequazione irrazionale?

Si impone che ogni radicando (cioè ciò che sta sotto la radice) sia maggiore o uguale a zero se la radice ha indice pari.

Quali sono le differenze tra equazioni e disequazioni irrazionali?

Le equazioni irrazionali cercano valori che rendono due espressioni uguali; le disequazioni stabiliscono invece un ordine (maggiore o minore) tra esse.

Conclusione

Le disequazioni irrazionali rappresentano un passo importante nell’algebra, perché uniscono la comprensione del dominio, le proprietà delle radici e la capacità di risolvere disequazioni di secondo grado.

Imparare a risolverle con metodo ti aiuta non solo negli esercizi di scuola, ma anche nella preparazione a test di ingresso universitari e concorsi.

Ricorda sempre:

• partire dal dominio,
• isolare la radice,
• elevare al quadrato con attenzione,
• intersecare le soluzioni con il dominio.

Con la pratica, questi passaggi diventeranno automatici.