Gli esercizi sulla retta in geometria analitica rappresentano il passaggio fondamentale per consolidare la comprensione delle formule e dei metodi studiati nella parte teorica. Dopo aver analizzato l’equazione della retta, il coefficiente angolare, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità e le diverse forme dell’equazione, è attraverso l’applicazione guidata che tali strumenti acquistano reale significato operativo.
In questa raccolta proponiamo una serie di esercizi svolti sulla retta organizzati per argomento: si parte da applicazioni dirette delle formule fino ad arrivare a situazioni che richiedono più passaggi logici e una maggiore padronanza dei concetti. Ogni svolgimento è illustrato passo per passo, con richiamo delle formule utilizzate e spiegazione del procedimento adottato, così da fornire non soltanto il risultato finale, ma soprattutto il metodo.
Cosa imparerai con questi esercizi sulla retta:
- determinare l’equazione della retta in diverse forme
- calcolare il coefficiente angolare
- trovare la retta passante per due punti
- scrivere l’equazione di rette parallele e perpendicolari
- determinare l’intersezione tra due rette
- studio di luoghi geometrici e fasci di rette
Esercizi sulla forma esplicita e implicita dell’equazione della retta
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla FORMA ESPLICITA ED IMPLICITA DELLA RETTA
Ricordiamo che:
- la forma esplicita dell’equazione della retta è:
- la forma implicita è:
con \(a\) e \(b\) non entrambi nulli.
Per approfondire l’argomento vai alla sezione dedicata alla forma esplicita, implicita e parametrica della retta.
Esercizio 1
Determinare la forma esplicita della retta di equazione: \(2x−y+3=0\).
SVOLGIMENTO
L’equazione è espressa in forma implicita.
Per ricavare la forma esplicita occorre isolare la variabile \(y\).
In questo caso basta osservare che è sufficiente portare il termine \(-y\) a secondo membro ottenendo:
Che rappresenta l’equazione della retta assegnata scritta in forma esplicita.
Giova sottolineare che nulla cambia rispetto alla forma assolutamente identica in cui a primo membro compare la variabile dipendente \(y\): \(y=2x+3\).
Esercizio 2
Scrivere in forma implicita la retta di equazione:
L’equazione assegnata è scritta in forma esplicita.
Per passare alla forma implicita dobbiamo eliminare il denominatore e portare tutti i termini al primo membro.
Moltiplichiamo in questo caso entrambi i membri per 2:
Portiamo tutti i termini a sinistra:
Quest’ultima rappresenta la forma implicita dell’equazione di partenza.
Osserviamo che i coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) che identificano la retta in forma implicita valgono:
Esercizi sulla retta passante per l’origine
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE
Una retta si dice passante per l’origine quando contiene il punto \(O(0,0)\).
In forma esplicita essa assume necessariamente la forma:
poiché è nulla l’intercetta \(q\) con l’asse \(y\).
Per approfondire l’argomento vai alla sezione dedicata alla retta passante per l’origine.
Esercizio 1
Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e con coefficiente angolare \(m=4\).
SVOLGIMENTO
Sostituendo il valore assegnato del coefficiente angolare otteniamo:
Questa è l’equazione richiesta.
Esercizio 2
Determinare l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto \(P(3,−6)\).
SVOLGIMENTO
Per trovare l’equazione della retta dobbiamo prima calcolare il coefficiente angolare.
Il coefficiente angolare della retta passante per i punti \(O(0,0)\) e \(P(3,−6)\) è:
Essendo la retta passante per l’origine, la sua equazione è: \(y=mx\), per cui sostituendo il valore di \(m\) si ottiene:
Se volessimo provare a verificare che il punto \(P\) appartiene effettivamente alla retta, basta controllare che il punto soddisfa l’equazione data;
Si ha che per \(x_0=3\), dall’equazione si ottiene:
Coincidendo l’orinata do \(P\) con il valore di \(y_0\) deduciamo che il punto \(P\) appartiene certamente alla retta data.
Esercizio 3
Determinare per quale valore del parametro \(a\) la retta passante per l’origine e per il punto \(P(a,2a+1)\) è parallela alla retta di equazione \(y=3x−2\).
SVOLGIMENTO
Affinché due rette siano parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare.
La retta assegnata ha coefficiente angolare: \(m=3\).
Calcoliamo ora il coefficiente angolare della retta passante per l’origine e per \(P(a,2a+1)\):
Affinché la retta sia parallela a quella data deve valere:
Moltiplichiamo per \(a\) con \(a \neq 0\):
da cui:
Esercizi sulle rette parallele agli assi cartesiani
BREVE RICHIAMO TEORICO sulle RETTE PARALLELE AGLI ASSI CARTESIANI
Le rette parallele agli assi rappresentano casi particolari:
- una retta parallela all’asse \(x\) ha equazione \(y=k\);
- una retta parallela all’asse \(y\) ha equazione \(x=h\).
Nel primo caso il coefficiente angolare è \(m=0\);
nel secondo caso la retta non ammette forma esplicita.
Per approfondire la teoria relativa alle rette parallele agli assi cartesiani, puoi consultare la sezione specifica dell’articolo dedicato alla retta; se invece è tutto chiaro puoi continuare con gli esercizi proposti di seguito.
Esercizio 1
Scrivere l’equazione della retta parallela all’asse \(x\) e passante per il punto \(Q(2,−3)\).
SVOLGIMENTO
Una retta parallela all’asse \(x\) ha equazione: \(y=k\)
Poiché deve passare per il punto \(Q(2,−3)\), la coordinata \(y\) del punto determina il valore di \(k\).
L’equazione è:
Esercizio 2
Determinare l’equazione della retta parallela all’asse \(y\) e passante per il punto \(A(−5,4)\).
SVOLGIMENTO
Una retta parallela all’asse \(y\) ha equazione: \(x=k\)
Poiché deve passare per il punto \(A(−5,4)\), il valore di \(x\) è costante e pari a: \(k=−5\).
L’equazione della retta è quindi:
Esercizio 3
Determinare per quale valore del parametro \(t\) la retta di equazione
è parallela all’asse \(x\).
SVOLGIMENTO
Una retta è parallela all’asse \(x\) se e solo se il suo coefficiente angolare è nullo.
Il coefficiente angolare della retta data è:
Imponiamo la condizione:
Per \(t=2\) l’equazione diventa:
che rappresenta una retta parallela all’asse \(x\).
Esercizi sul coefficiente angolare della retta
BREVE RICHIAMO TEORICO sul COEFFICIENTE ANGOLARE
Il coefficiente angolare di una retta è definito come:
Per approfondire l’argomento in modo completo consigliamo la lettura dedicata al coefficiente angolare.
Esercizio 1
Dati i punti \(A(-4,2)\) e \(B(-5,9)\), determinare il coefficiente angolare della retta passante per tali punti.
SVOLGIMENTO
Per determinare il coefficiente angolare di una retta passante per due punti \(A\) e \(B\) si usa la formula:
Sostituendo i valori si ottiene:
Esercizio 2
Dati i punti \(A(-1,\sqrt{2})\) e \(B(\frac{2}{3},3)\), determinare il coefficiente angolare della retta passante per tali punti.
SVOLGIMENTO
Analogamente all’esercizio 1, utilizziamo la medesima formula e sostituendo i valori numerici si ottiene:
Dividendo per 5/3 è equivalente a moltiplicare per 3/5:
Esercizi sulla retta passante per un punto con coefficiente angolare assegnato
Esercizio 1
Scrivere l’equazione della retta passante per il punto \((1/2,-3)\) e di coefficiente angolare 5.
SVOLGIMENTO
Per scrivere l’equazione della retta passante per il punto
e con coefficiente angolare \(m=5\), utilizziamo la forma punto-coefficiente angolare:
Sostituendo i dati si ottiene:
quindi sviluppando i calcoli e semplificando:
Esercizio 2
Scrivere l’equazione della retta passante per il punto \((2,-1/2)\) e di coefficiente angolare -7.
SVOLGIMENTO
In questo caso è possibile procedere come nell’esercizio precedente utilizzando la forma punto-coefficiente angolare:
Effettuando le dovute sostituzioni si ottiene:
A questo punto basterà semplificare come segue:
Esercizi sull’equazione della retta passante per due punti
BREVE RICHIAMO TEORICO sul CALCOLO DELL’EQUAZIONE DELLA RETTA PER DUE PUNTI
Si ricorda che l’equazione di una retta passante per due punti noti \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\) si ottiene attraverso la seguente formula:
oppure, nel caso in cui i punti appartengano agli assi, in forma segmentaria nella forma:
essendo, in quest’ultimo caso, \(P(k,0)\) e \(Q(0,h)\).
Per approfondire l’argomento si rimanda alla sezione dedicata di approfondimento relativo al calcolo dell’equazione della retta passante per due punti.
Esercizio 1
Scrivere l’equazione della retta passante per \(A(8,3)\) e \(B(-2,5)\)
SVOLGIMENTO
La formula da applicare è:
Sappiamo inoltre che:
quindi sostituendo otteniamo:
Moltiplichiamo entrambi i membri per -10 e poi per 2 per eliminare i denominatori ottenendo così:
Spostiamo tutti i termini a primo membro ottenendo:
Infine dividiamo per 2 per semplificare, ottenendo così:
Esercizio 2
Determinare l’equazione della retta passante per i punti che intercettano l’asse x nel punto (9,0) e l’asse y nel punto (3,0) utilizzando l’equazione segmentaria.
SVOLGIMENTO
L’equazione segmentaria di una retta è:
dove:
- \(k\) è l’intercetta sull’asse \(x\),
- \(h\) è l’intercetta sull’asse \(y\).
Dai dati sappiamo che:
- l’intercetta con l’asse x vale \(k=9\)
- l’intercetta con l’asse y vale \(h=3\)
Sostituendo i valori numerici si ottiene:
che rappresenta l’equazione delle retta cercata.
Facciamo notare che l’equazione può scriversi in maniera del tutto equivalente in forma esplicita, in particolare, moltiplicando ambo i membri per 3 ed esplicitando la \(y\) si ottiene:
Esercizi su rette parallele
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla CONDIZIONE di PARALLELISMO TRA RETTE
Due rette nel piano cartesiano sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare:
In forma implicita
Se le rette sono scritte come:
allora sono parallele se i coefficienti di \(x\) ed \(y\) sono proporzionali:
(se inoltre anche il termine noto è proporzionale, le rette sono coincidenti).
Per approfondire l’argomento si rimanda alla sezione dedicata relativa alle rette parallele nel piano cartesiano.
Esercizio 1
Determinare l’equazione della retta passante per il punto \((6,0)\) e parallela alla retta di equazione \(x+y-1=0\).
SVOLGIMENTO
Sappiamo che due rette (non verticali) sono parallele fra loro se hanno lo stesso coefficiente angolare.
Il problema potrà essere quindi risolto calcolando dapprima il coefficiente angolare della retta data ed imponendo successivamente che la generica retta di cui si cerca l’equazione abbia il medesimo coefficiente angolare e passi per il punto assegnato.
Il coefficiente angolare della retta si trova immediatamente riportando la retta assegnata in forma esplicita:
da cui si ricava il coefficiente angolare \(m=-1\).
A questo punto scriviamo l’equazione della retta nella forma punto-pendenza e imponiamo le condizioni sopra esposte; si avrà:
quindi sostituendo:
e quindi togliendo la parentesi
Esercizio 2
Determinare l’equazione della retta passante per il punto \((5/2,2)\) e parallela alla retta di equazione \(3x-5y+1=0\).
SVOLGIMENTO
Portiamo la retta in forma esplicita:
Quindi il coefficiente angolare è:
Le rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi anche retta ricercata dovrà avere coefficiente angolare \(m=\frac{3}{5}\).
A questo punto non rimane che sostituire le coordinate del punto per cui la retta passa ed il valore del coefficiente angolare all’equazione della retta scritta nella forma punto pendenza:
quindi sostituendo si ottiene:
Semplificando si ottiene infine:
Esercizi su rette perpendicolari
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla CONDIZIONE di PERPENDICOLARITÀ TRA RETTE
Due rette nel piano cartesiano sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari \(m_1\) ed \(m_2\) soddisfano la relazione:
oppure, il che è lo stesso, nella forma:
In forma implicita
Se le rette sono scritte come:
allora sono perpendicolari se vale la seguente relazione:
Può dimostrarsi che quest’ultimo risultato deriva direttamente dal prodotto scalare tra due vettori normali alle rette date.
Per approfondire l’argomento si rimanda alla sezione dedicata relativa alle rette perpendicolari nel piano cartesiano.
Esercizio 1
Determinare l’equazione della retta passante per il punto \((0,2)\) e perpendicolare alla retta di equazione \(x-y+5=0\).
SVOLGIMENTO
Portiamo la retta in forma esplicita:
Notiamo che il coefficiente angolare della retta data vale \(m_1=1\).
Dalla teoria delle rette parallele e perpendicolari sappiamo che due retta sono parallele se hanno i coefficienti angolari l’uno l’opposto del reciproco dell’altro, in formule dovrà aversi:
Scriviamo adesso l’equazione punto pendenza ed imponiamo che la retta ricercata abbia coefficiente angolare \(m_2\) e che passi per il punto \((0,2)\):
da cui si ricava immediatamente l’equazione finale in forma esplicita:
Esercizio 2
Determinare l’equazione della retta passante per il punto \((9,3)\) e perpendicolare alla retta di equazione \(2x-7y+5=0\).
SVOLGIMENTO
La prima operazione da svolgere è quella di portare la retta assegnata in forma esplicita:
Quindi il coefficiente angolare è:
Ricordando che due rette sono parallele se hanno i coefficienti angolari l’uno l’opposto del reciproco dell’altro, dovrà risultare:
A questo punto procediamo a scrivere l’equazione punto pendenza ed imponiamo che la retta ricercata abbia coefficiente angolare \(m_2\) e che passi per il punto \((9,3)\):
che semplificata si riduce a:
Esercizi sull’intersezione tra due rette
Esercizio 1
Determinare il punto di intersezione delle rette:
Il punto di intersezione deve soddisfare entrambe le equazioni, quindi possiamo eliminare la \(y\) utilizzando la tecnica del confronto, si avrà così:
A questo punto possiamo portare tutti i termini con la \(x\) da un lato e i numeri dall’altro:
A questo punto, per calcolare il valore di \(y\) basterà sostituire il valore di \(x\) ad una delle due equazioni, ad esempio all’equazione di \(r_1\):
Il punto di intersezione delle due rette è pertanto:
Esercizio 2
Determinare il punto di intersezione delle rette:
Anziché procedere al confronto (come già visto nell’esercizio 1), possiamo invece decidere di sostituire la seconda equazione nella prima per eliminare la \(y\) ottenendo:
quindi sviluppando i calcoli e semplificando si ottiene:
che sostituito ad una delle due equazioni (per esempio \(r_2\)) fornisce:
Il punto di intersezione delle due rette è pertanto identificato dal punto di coordinate:
Esercizi sulla distanza di un punto da una retta
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
La distanza \(d\) di un punto \(P(x_0, y_0)\) da una retta \(ax+by+c=0\) si calcola con la formula:
Basta sostituire le coordinate del punto e i coefficienti della retta. Questa formula funziona per qualsiasi retta nel piano cartesiano.
Per un approfondimento sull’argomento puoi consultare la sezione dedicata alla distanza di un punto da una retta.
Esercizio 1
Determinare la distanza del punto \(Q(-2,1)\) dalla retta di equazione \(3x+4y-5=0\).
In tal caso basta applicare la formula:
tenendo conto che:
Sostituendo si ottiene:
Esercizi sull’asse di un segmento
BREVE RICHIAMO TEORICO sull’ASSE DI UN SEGMENTO
Siano \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\) gli estremi di un segmento.
L’asse del segmento è il luogo geometrico dei punti \(P(x,y)\) tali che:
cioè:
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene la condizione equivalente:
Questa equazione rappresenta l’asse del segmento \(AB\) nel piano cartesiano.
Per approfondire l’argomento puoi consultare la sezione dedicata all’asse di un segmento.
Esercizio 1
Determinare l’equazione dell’asse del segmento avente estremi \(A(1,2)\) e \(B(5,4)\) utilizzando la definizione di luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
SOLUZIONE
Un punto generico \(P(x,y)\) appartiene all’asse del segmento \(AB\) se vale la relazione \(PA=PB\), e quindi in altre parole:
adesso sviluppiamo i quadrati:
Eliminiamo \(x^2\) e \(y^2\):
Portiamo adesso tutti i termini a primo membro e sommiamo i termini simili ottenendo:
che rappresenta l’equazione dell’asse del segmento \(AB\).
Esercizi sulla bisettrice di un angolo
BREVE RICHIAMO TEORICO sulla BISETTRICE DI UN ANGOLO
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo.
Se i lati dell’angolo sono rappresentati dalle rette
un punto \(P(x,y)\) appartiene alla bisettrice se la sua distanza dalle due rette è la stessa:
Questa condizione permette di determinare le equazioni delle bisettrici dell’angolo formato dalle due rette.
Per approfondire l’argomento puoi consultare la sezione dedicata alla bisettrice di un angolo.
Esercizio 1
Determinare le equazioni delle bisettrici dell’angolo formato dalle rette
SOLUZIONE
Per prima cosa scriviamo le equazioni delle rette in forma implicita:
Le bisettrici sono il luogo dei punti equidistanti dalle due rette, quindi imponiamo l’uguaglianza delle distanze di un punto generico \(P(x,y)\):
quindi semplificando ulteriormente:
A questo punto possiamo eliminare i denominatori come segue:
Eliminando i valori assoluti si ottengono due equazioni:
semplificando e sommando i termini simili delle singole equazioni si ottengono infine le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette \(r_1\) ed \(r_2\).
Prima bisettrice
Seconda bisettrice
Esercizi svolti sulle equazioni parametriche della retta
Per approfondire l’argomento puoi consultare l’articolo dedicato alle forme dell’equazione della retta ed in particolare la sezione relativa alla forma parametrica della retta.
Esercizio 1
Determinare una rappresentazione parametrica della retta di equazione:
SOLUZIONE
La prima operazione da svolgere è scrivere la retta in forma esplicita:
Poniamo adesso
che sostituito nell’equazione in forma esplicita fornisce \(y=-4t+6\).
Pertanto una rappresentazione parametrica della retta può essere scritta nella forma:
Esercizio 2
Determinare l’equazione cartesiana della retta data dalla rappresentazione parametrica:
SOLUZIONE
In tal caso è possibile procedere ricavando il parametro \(t\) da una delle due equazioni, per esempio la prima; si avrà quindi:
che sostituito nella seconda equazione consente di scrivere quest’ultima come:
A questo punto basterà svolgere le semplici operazioni di calcolo e riordinare tutti i termini a primo membro ottenendo così la seguente forma cartesiana dell’equazione:
Esercizi sul fascio proprio di rette
BREVE RICHIAMO TEORICO sul FASCIO PROPRIO di RETTE
Un fascio proprio di rette è l’insieme di tutte le rette che passano per uno stesso punto, detto centro del fascio.
La loro equazione generale può essere scritta come
,dove \((x_0,y_0)\) è il centro ed \(m\) il generico valore del coefficiente angolare variabile su tutti i valori reali.
Ogni retta del fascio ha quindi un coefficiente angolare diverso, ma tutte condividono lo stesso centro.
Ricordiamo inoltre che l’equazione proposta non può descrivere la retta verticale (in tal caso \(m\) non è definito).
Per un approfondimento sull’argomento puoi consultare l’approfondimento dedicato al fascio proprio e improprio di rette o in alternativa puoi consultare la sezione specifica all’interno dell’argomento: la retta.
Esercizio 1
Si rappresentino analiticamente le rette del fascio di centro \(A(3,-4)\).
SVOLGIMENTO
È noto dalla teoria che la rappresentazione delle rette del fascio proprio può scriversi come:
Risultando \(x_0\) ed \(y_0\) le coordinate di \(A\).
Effettuando le sostituzioni delle coordinate si ottiene:
e che riordinata può essere scritta all’occorrenza anche in formulazione esplicita come segue:
Tuttavia giova rilevare che tale ultima equazione, non potendo risultare il coefficiente angolare infinito, non può rappresentare la retta verticale passante per \(A\). Concludiamo che all’equazione trovata va aggiunta la retta verticale passante per il punto \(A\), di equazione:
Esercizio 2
L’equazione
rappresenta un fascio di rette.
- Determinare il centro del fascio.
- Stabilire quale retta passante per il centro non è rappresentabile con tale equazione.
SVOLGIMENTO
L’equazione è scritta nella forma:
Questa è la forma punto–coefficiente angolare, che rappresenta tutte le rette passanti per il punto: \((x_0, y_0)\).
Se confrontiamo tale equazione con quella assegnata ricaviamo immediatamente che:
che rappresentano le coordinate del centro del fascio. Difatti, al variare di \(m\) la retta passa sempre per il punto \((1,6)\).
Esiste però una retta passante per \((1,6)\) che non può essere scritta nella forma vista: si tratta della retta verticale passante per il centro del fascio.
La retta verticale passante per \((1,6)\) ha equazione:
Tale retta non può essere rappresentata nella forma \(y−6=m(x−1)\) perché avrebbe coefficiente angolare indefinito.
Risultato finale
- Il centro del fascio è il punto \(C(1,6)\)
- La retta passante per il centro non rappresentabile con l’equazione data è: \(x=1\).
Esercizio 3
Determinare l’equazione della retta passante per il punto \(P(0,−1/2)\) e avente coefficiente angolare \(m=1/5\).
SVOLGIMENTO
Utilizzando la forma punto–coefficiente angolare di una retta:
e sostituendo i valori numerici:
si ottiene:
da cui, dopo aver eseguito alcuni semplici passaggi:
Esercizi sul fascio improprio di rette
BREVE RICHIAMO TEORICO sul FASCIO IMPROPRIO di RETTE
Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele tra loro, cioè con lo stesso coefficiente angolare m.
La loro equazione generale è:
con \(q\) variabile nel campo dei numeri reali.
Se le rette sono perpendicolari a una retta data, il loro coefficiente angolare è l’opposto reciproco di quello della retta data.
Esercizio 1
Scrivere l’equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta di equazione \(y = -\sqrt{2}\,x + 5\).
SVOLGIMENTO
Un fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette parallele tra loro, quindi con lo stesso coefficiente angolare.
La retta data ha coefficiente angolare:
Tutte le rette parallele avranno quindi la forma:
dove:
- \(-\sqrt{2}\) è il coefficiente angolare fisso,
- \(q \in \mathbb{R}\) è il parametro reale che varia (termine noto).
Il fascio improprio di rette parallele alla retta assegnata è:
Esercizio 2
Scrivere l’equazione del fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione \(y=\frac{2}{7}x+4\).
SVOLGIMENTO
Dall’equazione si vede subito che il coefficiente angolare è:
Due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono opposti reciproci, cioè:
Il fascio improprio è formato da tutte le rette con coefficiente angolare fisso \(-\frac{7}{2}\).
La loro equazione generale è:
con \(\in \mathbb{R}\).
Esercizio 3
Nel fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione \(3x-9y+1=0\), individuare quella che taglia l’asse delle ordinate nel punto di ordinata 4.
SVOLGIMENTO
Portiamo la retta in forma esplicita:
Il coefficiente angolare è:
Le rette perpendicolari hanno coefficiente angolare opposto reciproco:
Quindi il fascio improprio è formato da tutte le rette:
Una retta taglia l’asse delle ordinate nel punto di ordinata 4 quando:
Sostituendo si ottiene l’equazione richiesta:
Esercizi sul fascio di rette generato da due rette
Esercizio 1
Determinare l’equazione del fascio di rette generato dalle rette:
utilizzando la forma con due parametri.
SOLUZIONE
Il fascio generato dalle rette \(r_1\) ed \(r_2\) può essere scritto come combinazione lineare delle due rette, in formule:
dove \(\lambda\), \(\mu\) \(\in \mathbb{R}\) sono non entrambi contemporaneamente nulli.
Al variare di tali parametri si ottengono tutte le rette del fascio, cioè tutte le rette che passano per il punto di intersezione delle due rette generatrici \(r_1\) ed \(r_2\).
Problemi parametrici sulla retta
Esercizio 1
Determinare per quale valore del parametro \(k\) l’equazione
rappresenta una retta con coefficiente angolare pari a 3.
SVOLGIMENTO
L’equazione è data in forma implicita.
Per determinare il coefficiente angolare dobbiamo ricavare la forma esplicita.
Isoliamo quindi \(y\):
Il coefficiente angolare è quindi:
Imponiamo la condizione richiesta:
Moltiplicando entrambi i membri per 2 otteniamo:
Da cui si ricava:
Esercizio 2
Determinare per quale valore del parametro \(k\) le rette:
sono perpendicolari.
SOLUZIONE
Affinché le due rette siano perpendicolari tra loro devono avere coefficiente angolare l’una l’opposto del reciproco dell’altra.
In altre parole indicando con \(m_1\) il coefficiente angolare di \(r_1\) e con \(m_2\) il coefficiente angolare di \(r_2\) deve valere la seguente relazione:
Ricaviamo quindi preliminarmente i coefficienti angolari delle rette uno alla volta.
Per \(r_1\) risulterà:
Procedendo in maniera analoga per la retta \(r_2\) risulterà:
Imponendo adesso la condizione di perpendicolarità dovrà aversi: