Nello studio della geometria analitica la circonferenza non si limita unicamente a rappresentare un luogo geometrico, essa infatti diventa anche uno strumento interpretativo per affrontare tipologie di problemi che, in apparenza, appartengono all’analisi algebrica. Tra questi problemi, le disequazioni irrazionali occupano un posto di particolare rilievo.
Quando in una disequazione compare un’espressione del tipo \(\sqrt{r^2 – x^2}\), è possibile riconoscervi il grafico di una semicirconferenza associata alla relativa circonferenza di centro nell’origine e raggio \(r\), descritta dall’equazione \(x^2 + y^2 = r^2\).
In questo articolo tratteremo in particolare un metodo grafico con l’obiettivo di risolvere una disequazione irrazionale consentendo così di trasformare una disequazione irrazionale in un problema geometrico. Scopriremo infatti che risolvere la disequazione equivarrà a determinare per quali valori di \(x\) il grafico di una certa funzione (per esempio una retta) si trova al di sopra o al di sotto di un’altra (una semicirconferenza). Giova sottolineare che questo approccio non sostituisce il metodo algebrico, ma lo integra in modo significativo, rendendo ben visibile il significato delle soluzioni e riducendo il rischio di errori legati alla manipolazione delle radici.
Nel seguito, oltre alla teoria, affronteremo una serie di esercizi svolti in ordine progressivo di difficoltà crescente, dai casi più semplici, fino a casi più articolati che coinvolgono due semicirconferenze e funzioni con valore assoluto.
Il metodo di risoluzione grafica delle disequazioni irrazionali
Il metodo grafico per risolvere le disequazioni irrazionali si basa sul seguente principio generale:
data una disequazione del tipo:
dove \(f\) e \(g\) sono funzioni reali di variabile reale, la soluzione si ottiene determinando l’insieme dei valori di \(x\) per cui il grafico di \(f\) si trova, rispettivamente, al di sopra o al di sotto del grafico di \(g\).
In particolare, per una disequazione irrazionale della forma
si procede preliminarmente identificando:
- \(y = \pm \sqrt{r^2 – x^2}\): la semicirconferenza superiore (o inferiore) di centro \(O(0,0)\) e raggio \(r\), definita per \(x \in [-r, r]\)
- \(y=g(x)\): la seconda funzione (retta, semicirconferenza, valore assoluto, ecc.)
Procedimento operativo di risoluzione grafica delle disequazioni irrazionali
Il metodo si articola in tre fasi:
Fase 1 — Determinazione del dominio. La funzione irrazionale \(\sqrt{r^2 – x^2}\) è definita per \(r^2 – x^2 \geq 0\), ovvero per \(x \in [-r, r]\). L’insieme di definizione della disequazione coincide pertanto con tale intervallo, intersecato con il dominio dell’altra funzione (\(g(x)\)).
Fase 2 — Calcolo delle intersezioni. Si risolve il sistema:
le cui soluzioni forniscono i punti in cui i due grafici hanno eventuali punti di intersezione.
Fase 3 — Analisi della posizione reciproca. Si studia, tramite il grafico o per verifica numerica, quale dei due grafici si trova sopra l’altro negli intervalli determinati dai punti di intersezione. La soluzione della disequazione corrisponde all’unione degli intervalli in cui la relazione richiesta è soddisfatta.
Esercizi svolti
Nei seguenti esercizi svolti applichiamo il metodo grafico a diverse tipologie di disequazioni irrazionali, in progressione di difficoltà.
Esercizio 1 — Semicirconferenza e retta (caso base)
Risolvere graficamente la disequazione
SOLUZIONE
Poniamo \(y=\sqrt{1-x^2}\) sotto la condizione \(y\geq0\) dovendo risultare necessariamente il radicale non negativo.
A questo punto se eleviamo al quadrato si ottiene
e quindi
che, soggetta al vincolo anzidetto (\(y\geq0\)) rappresenta l’equazione di una semicirconferenza centrata nell’origine e raggio unitario situata nel primo e nel secondo quadrante.
Se si considera adesso la funzione
che rappresenta il secondo membro della disequazione assegnata è possibile ottenere la rappresentazione grafica (come in Fig.1):
Risolvere la disequazione equivale pertanto a determinare l’intervallo dei valori di \(x\) tali per cui i valori assunti della funzione \(y=\sqrt{1-x^2}\) risultano minori rispetto ai valori della retta (\(y=x+1\)) in corrispondenza della stessa ascissa.
Tale condizione si verifica solo nell’intervallo dei valori di \(x\) tali che
Notiamo che il punto di ascissa \(x=0\) è escluso dall’intervallo delle soluzioni risultando la disequazione stretta, mentre per valori di \(x>1\) la semicirconferenza non è definita (il dominio della semicirconferenza è infatti l’intervallo \([-1,1]\)).
Esercizio 2 — Semicirconferenza e retta per l’origine
Risolvere graficamente la disequazione
SOLUZIONE
La prima operazione da svolgere, affinché il radicale abbia senso, è quella di porre il radicando maggiore o uguale a zero, in formule:
Se risolviamo quest’ultima disequazione otteniamo:
a cui corrisponde la seguente equazione associata:
La disequazione \(x^2-4\leq0\) ha quindi soluzioni interne all’intervallo chiuso \(x \in [-2,2]\).
Notiamo altresì che il primo membro della disequazione assegnata rappresenta la funzione
che coincide con la semicirconferenza contenuta nel primo e secondo quadrante associata alla circonferenza
di centro l’origine e raggio \(\sqrt{4}=2\) soggetta al vincolo \(y\geq0\).
Osservando adesso il secondo membro della disequazione assegnata consideriamo la funzione
che è la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Risolvere la disequazione di partenza in sostanza equivale a trovare l’intervallo dei valori di \(x\) per cui la semicirconferenza risulta maggiore o uguale alla retta di equazione \(y=x\).
Procediamo adesso ad inserire in un grafico entrambe le funzioni separatamente (Fig.2).
Notiamo dal grafico che per poter trovare la soluzione al problema è necessario dapprima trovare il punto di intersezione tra circonferenza e retta mettendo a sistema le due funzioni. Scriveremo quindi che
con il vincolo \(y \geq0\).
Sostituendo nel sistema la seconda alla prima equazione si ottiene
Dal grafico notiamo che l’unica soluzione ammissibile è
a cui corrisponde l’ordinata del punto di intersezione \(y=+\sqrt{2}>0\)
Viceversa, per \(x=-\sqrt{2}\) l’ordinata del punto di intersezione con la circonferenza varrebbe \(y=-\sqrt{2}\) e pertanto tale soluzione non risulta accettabile.
Alla luce delle considerazioni fatte, tenendo conto della disequazione di partenza, concludiamo che le ordinate della semicirconferenza risultano maggiori o uguali alle ordinate della retta nei corrispondenti valori di \(x\) nell’intervallo dei valori tali per cui
Esercizio 3 — Due semicirconferenze
Risolvere graficamente la seguente disequazione irrazionale
SOLUZIONE
Si tratta in questo caso di confrontare due semicirconferenze:
- \(y_1 = \sqrt{9 – x^2}\): semicirconferenza superiore di centro \(O(0,0)\) e raggio 3
- \(y_2 = \sqrt{-x^2+4x}\): semicirconferenza superiore di centro \(C(2,0)\) e raggio 2
quindi procediamo alla costruzione grafica delle circonferenze (Fig.3).
Dal grafico si evince molto chiaramente che la semicirconferenza \(y=\sqrt{9-x^2}\) è definita nell’intervallo \(-3 \leq x \leq 3\), mentre la semicirconferenza di equazione \(y=\sqrt{-x^2+4x}\) è definita nell’intervallo \(0 \leq x \leq 4\). Ricercheremo pertanto soluzioni valide solo e soltanto ove esistono entrambe le curve, quindi nell’intervallo \(0 \leq x \leq 3\).
Dal grafico si nota subito che la semicirconferenza \(y_1\) si mantiene maggiore della \(y_2\) nell’intervallo dei valori di \(x\) compresi tra l’origine ed il loro punto di intersezione.
Per determinare il punto di intersezione delle due semicirconferenze è sufficiente risolvere il sistema formato dalle circonferenze associate ed eliminare una delle due variabili, scegliendo poi la soluzione congruente con il grafico (in tal caso positiva, risultando l’intersezione nel primo quadrante).
Procedendo con i calcoli si ha:
da cui, sottraendo membro a membro (che in tal caso è l’operazione più immediata) ricaviamo
da cui
La soluzione della disequazione è pertanto rappresentata dall’intervallo dei valori di \(x\) tale che
Esercizio 4 — Semicirconferenza e valore assoluto
Risolvere graficamente la seguente disequazione irrazionale
SOLUZIONE
Si tratta in questo caso di confrontare la semicirconferenza superiore di raggio 1 con la funzione valore assoluto
- \(y_1 = \sqrt{1 – x^2}\): semicirconferenza superiore di centro \(O(0,0)\) e raggio 1
- \(y_2 = |x|\)
quindi procediamo alla costruzione grafica (Fig.4).
Con riferimento al grafico di Fig.4 notiamo innanzitutto che la funzione \(y_2=|x|\) è definita per ogni \(x\), mentre la semicirconferenza \(y_1=\sqrt{1-x^2}\) è definita nell’intervallo chiuso \([-1,1]\), conseguentemente eventuali valori di \(x\) soluzione della disequazione irrazionale dovranno essere ricercati esclusivamente all’interno di tale intervallo.
Dal grafico si evince inoltre che la funzione \(y_2\) si mantiene maggiore di \(y_1\) per \(x\) compreso tra -1 (incluso) e l’ascissa corrispondente all’intersezione delle due funzioni nel secondo quadrante oltre all’intervallo simmetrico rispetto all’asse \(y\).
Determiniamo quindi in punto di intersezione tra la funzione \(y_1\) ed \(y_2\) tenendo conto che quest’ultima vale
Si ottiene così il sistema
soggetto al vincolo \(y\geq0\). Risolviamo a questo punto il sistema elevando dapprima al quadrato la prima equazione e successivamente eliminando la \(y\):
Eleviamo al quadrato la seconda equazione e riscriviamo la prima come segue:
A questo punto se sostituiamo la seconda nella prima (eliminando la \(y\)) otteniamo
avvertendo il lettore che dovrà prendersi solo la soluzione negativa (la soluzione positiva ricade infatti nel quarto quadrante ove \(y<0\) contrariamente all’ipotesi).
Può facilmente dimostrarsi, con analogo procedimento, che dall’intersezione tra la semicirconferenza e la funzione \(y_2=|x|\) per \(x>0\) si ottiene come unica soluzione accettabile
La soluzione della disequazione è pertanto rappresentata dall’intervallo dei valori di \(x\) tali che
Esercizio 5 — Valore assoluto con semicirconferenza (avanzato)
Si risolva graficamente la seguente disequazione
SOLUZIONE
Affinché il radicale abbia senso deve risultare
che, come noto dalla teoria sulle disequazioni di secondo grado, ha soluzione
Notiamo inoltre che la quantità a secondo membro \((x-3)\) deve risultare positiva (in quanto maggiore di un valore assoluto), in formule:
Le possibili soluzioni della disequazione sono quindi da ricercarsi nell’intervallo
A questo punto, trattandosi di un procedimento di risoluzione grafica della disequazione risulta conveniente tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
In particolare, con riferimento alla funzione \(y_1\), notiamo che questa vale
Troviamo a questo punto le intersezioni con l’asse delle ascisse della funzione \(y_1\), in altre parole risolviamo l’equazione
da cui risulta, sviluppando i passaggi:
Tenendo conto di tali soluzioni la \(y_1\) può riscriversi come
Di seguito mostriamo le due funzioni \(y_1\) e \(y_2\) separatamente (Fig.5).
Il grafico di Fig.5 mostra chiaramente che la retta \(y_2=x-3\) è maggiore di \(y_1=|4-\sqrt{36-x^2}|\) nell’intervallo
tale che \(x_A\) risulti l’ascissa di intersezione tra la retta ed il tratto di circonferenza interna all’intervallo \(x_1,x_2\). Per trovare \(x_A\) bisogna pertanto risolvere il sistema:
effettuando le sostituzioni
quindi elevando al quadrato e semplificando si ottiene
che risolta fornisce
la cui unica soluzione accettabile è quella positiva dovendo essere l’intersezione contenuta nel primo quadrante. Si avrà pertanto
Per ottenere l’intersezione \(x_B\) si procede analogamente, tenendo conto che questa volta dovrà risolversi il sistema
che fornisce
quindi elevando nuovamente al quadrato e semplificando si ottiene
che risolta fornisce le seguenti soluzioni
questa volta entrambe positive.
La soluzione accettabile dovrà essere contenuta ancora nel primo quadrante, conseguentemente notando che i valori delle ordinate corrispondenti ai valori di \(x\) trovati valgono
dovrà considerarsi valida la soluzione
La disequazione di partenza risulta pertanto verificata nell’intervallo
Errori comuni
Nell’applicazione del metodo grafico alle disequazioni con semicirconferenze, gli errori più frequenti riguardano soprattutto la gestione del dominio, l’interpretazione del grafico e l’uso dell’elevamento al quadrato.
Un primo errore consiste nel trascurare il dominio della funzione irrazionale. La funzione \(y = \sqrt{r^2 – x^2}\) è definita solo per \(-r \le x \le r\), e questo intervallo rappresenta l’unico tratto in cui la semicirconferenza esiste. Qualunque valore esterno non può essere soluzione, anche se ottenuto correttamente dal punto di vista algebrico. Quando sono presenti più radicali, il dominio corretto è dato dall’intersezione degli intervalli di definizione.
Un altro errore riguarda il passaggio all’elevamento al quadrato per determinare i punti di intersezione. Risolvendo un’equazione del tipo \(\sqrt{r^2 – x^2} = ax + b\), si introduce implicitamente la condizione che il secondo membro sia non negativo. Se questa condizione non viene controllata, si possono ottenere soluzioni che non soddisfano l’equazione iniziale. Anche nel metodo grafico questo aspetto resta importante, perché i punti di intersezione devono essere coerenti con le condizioni del problema.
Dal punto di vista interpretativo, è frequente confondere il verso della disuguaglianza con la posizione relativa dei grafici. La disequazione è verificata negli intervalli in cui la semicirconferenza si trova sopra o sotto la retta, a seconda del segno. Una lettura frettolosa del grafico può portare a invertire questa relazione; per tale motivo è sempre utile controllare almeno un valore in ciascun intervallo individuato.
Un’ulteriore difficoltà riguarda la gestione degli estremi del dominio e dei punti di intersezione. Nei punti estremi dell’intervallo la semicirconferenza non sempre assume valore nullo e non è detto che tali estremi appartengano alla soluzione. Lo stesso vale per i punti di intersezione.
Infine, in alcuni casi, le funzioni coinvolte presentano simmetrie che si riflettono anche nella soluzione: non riconoscerle può portare a risultati incompleti.
Nel complesso, il metodo grafico risulta molto efficace, ma richiede attenzione nel collegare correttamente dominio, intersezioni e lettura del grafico. Quando questi tre aspetti sono gestiti correttamente, gli errori si riducono in modo significativo.
Conclusione
Il metodo grafico per le disequazioni con semicirconferenze costituisce un esempio di come la geometria analitica possa offrire strumenti interpretativi per problemi di natura algebrica. Riconoscere in \(\sqrt{r^2 – x^2}\) il grafico di una semicirconferenza non è solo un’osservazione formale: è il primo passo per trasformare una disequazione irrazionale in un problema di posizione reciproca tra curve, più intuitivo e meno soggetto agli errori tipici del metodo algebrico puro.
Il dominio, le intersezioni e l’analisi grafica del segno sono le tre fasi che strutturano ogni risoluzione: padroneggiarle significa disporre di un metodo sistematico applicabile a una famiglia ampia di disequazioni irrazionali, estendibile, con le opportune modifiche, a confronti tra qualunque coppia di funzioni nel piano cartesiano.