Studiare la posizione reciproca tra due circonferenze significa determinare come esse si dispongono nel piano cartesiano, in particolare se esse si intersecano in due punti, se sono tangenti in un punto oppure completamente separate (non si intersecano).
Questo problema occupa un ruolo centrale nella geometria analitica e si affronta attraverso due prospettive tra loro complementari:
- un approccio geometrico, fondato sul confronto tra la distanza dei centri e i raggi
- un approccio analitico, basato sulla risoluzione di un sistema di equazioni e sullo studio del discriminante Δ
Questi due metodi, pur partendo da punti di vista diversi, conducono agli stessi risultati e permettono di descrivere in modo completo tutte le possibili configurazioni.
Nel seguito verranno presentati entrambi gli approcci, accompagnati da diversi esempi svolti passo passo, così da rendere chiaro non solo il procedimento, ma anche il significato geometrico dei risultati ottenuti.
Posizione reciproca tra due circonferenze: i casi possibili
Consideriamo due generiche circonferenze nel piano cartesiano. Queste possono disporsi in modo che risultino tra loro:
- secanti – in questo caso le circonferenze hanno 2 punti di intersezione comuni tra loro (Fig.1);
- tangenti – in tal caso le circonferenze avranno un solo punto in comune. Inoltre le circonferenze potranno essere tangenti esternamente (Fig.2) oppure internamente (Fig.3) a seconda della loro reciproca posizione;
- esterne – se tra esse non vi sono punti in comune (Fig.4);
- interne – se, anche in questo caso, non risultano punti in comune tra di esse ma una delle due è contenuta interamente all’interno dell’altra (Fig.5);
- coincidenti – se le due circonferenze coincidono (Fig.6).
Metodo geometrico: studio della posizione reciproca
Consideriamo due generiche circonferenze di equazioni:
Sappiamo dalla teoria sulla circonferenza che i centri e i rispettivi raggi valgono:
- centri: \(C_1(x_1, y_1)\) e \(C_2(x_2, y_2)\)
- raggi: \(r_1\) ed \(r_2\)
A questo punto calcoliamo la distanza tra i centri delle due circonferenze come:
Ciò posto, il problema dello studio della posizione reciproca tra le due circonferenze può ridursi essenzialmente al confronto tra:
- la distanza \(d\) dei rispettivi centri \(C_1\) e \(C_2\) ed i relativi raggi
- la somma \(r_1+r_2\)
- la differenza \(|r_1 – r_2|\)
In particolare, con riferimento a quanto già accennato al paragrafo sopra, ai diversi casi possibili corrispondono delle precise condizioni geometriche, in particolare:
Per circonferenze secanti dovrà risultare che la distanza tra i centri è tale che questa sia compresa tra la differenza dei singoli raggi in valore assoluto e la loro somma:
Per circonferenze tangenti esternamente risulterà che la distanza tra i centri sarà tale che questa sia pari alla somma dei singoli raggi:
Per circonferenze tangenti internamente la distanza tra i centri è pari al valore assoluto della differenza dei singoli raggi, in formule:
Se le circonferenze non hanno punti di intersezione comune queste possono essere esterne o interne tra loro e varranno rispettivamente le seguenti condizioni:
In altre parole se le circonferenze sono esterne la distanza tra i rispettivi centri dovrà essere maggiore della somma dei raggi, mentre per il caso di circonferenze interne deve valere la condizione che la distanza tra i centri deve risultare minore della differenza dei raggi in valore assoluto.
Le circonferenze concentriche: un caso particolare
Un caso particolare delle circonferenze interne è quello delle circonferenze concentriche, in cui i centri coincidono \(d=0\) ma i raggi sono diversi \(r_1 \neq r_2\): esse non hanno punti in comune.
Nel caso particolare di circonferenze coincidenti, si avrà ovviamente che i centri sono coincidenti come del resto lo sono i rispettivi raggi, in formule:
RIASSUMENDO:
- Secanti → \(|r_1 – r_2| < d < r_1 + r_2\)
- Tangenti esternamente → \(d = r_1 + r_2\)
- Tangenti internamente → \(d = |r_1 – r_2|\)
- Esterne → \(d > r_1 + r_2\)
- Interne → \(d < |r_1 – r_2|\)
- Coincidenti → \(d=0\) e \(r_1 = r_2\)
Esempi svolti con metodo geometrico
Esempio 1 – Circonferenze secanti
Date le circonferenze
determinare la posizione reciproca tra esse (dire se sono secanti, tangenti o di altro tipo…).
SOLUZIONE
La prima operazione da svolgere per risolvere l’esercizio sta nell’individuare correttamente i dati. In tal caso si ricavano preliminarmente i centri e i raggi delle due circonferenze:
- \(C_1 = (0,0)\), \(r_1 = 5\)
- \(C_2 = (6,0)\), \(r_2 = 5\)
Dopodiché procediamo al calcolo della distanza dei rispettivi centri \(C_1\) e \(C_2\) applicando la (1):
A questo punto calcoliamo le quantità
Dal confronto numerico deriva che
e pertanto vale la condizione (2): le circonferenze sono in questo caso secanti in due punti distinti.
Esempio 2 – Circonferenze tangenti
Date le circonferenze
determinare la posizione reciproca tra esse.
SOLUZIONE
Come visto nell’esercizio precedente calcoliamo
- centri: \(C_1(1,2)\) e \(C_2(5,2)\)
- raggi: \(r_1 = r_2 = 2\)
Procediamo così al calcolo della distanza dei rispettivi centri \(C_1\) e \(C_2\) applicando nuovamente la (1):
Calcoliamo adesso le quantità
Dal confronto numerico deriva immediatamente che vale la condizione (3): le circonferenze sono pertanto, in questo caso, tangenti esternamente in un punto.
Esempio 3 – Circonferenze esterne
Siano date le seguenti circonferenze
determinare se esse sono tangenti, secanti, interne o esterne tra loro.
SOLUZIONE
Si procede sempre calcolando i centri ed i raggi delle due circonferenze. In particolare risulta che:
- \(C_1 = (0,0), \quad r_1 = 3\)
- \(C_2 = (8,1), \quad r_2 = 2\)
La distanza dei rispettivi centri \(C_1\) e \(C_2\) applicando la (1) vale:
Adesso calcoliamo le quantità
Dal confronto numerico deriva che
e pertanto vale la condizione (5): le circonferenze sono in questo caso esterne, quindi non hanno punti in comune.
Metodo analitico: sistema, asse radicale e discriminante
Rispetto al metodo geometrico visto nei paragrafi precedenti, esiste, come già anticipato, un’ulteriore metodo per determinare la posizione reciproca tra due circonferenze, quindi stabilire se queste hanno punti in comune o meno: si tratta di un metodo analitico basato sul concetto di discriminante (delta) che consente di trovare gli eventuali punti di intersezione tra due circonferenze o di tangenza.
Il metodo analitico consiste nello studiare essenzialmente il sistema formato dalle due circonferenze, quindi determinare le soluzioni reali.
Impostazione del sistema
Si considerino le seguenti equazioni delle circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\):
Il problema della determinazione della reciproca posizione tra le due coniche può risolversi come il sistema formato dalle due equazioni:
N.B. Per risolvere il sistema (7) risulta conveniente utilizzare una tecnica che illustreremo nel paragrafo a seguire, introducendo al contempo il concetto di asse radicale.
Asse radicale e riduzione del sistema
Sottraendo membro a membro le equazioni del sistema (7) si eliminano i termini quadratici, ottenendo:
che è l’equazione di una retta.
Tale retta (8) prende il nome di asse radicale delle due circonferenze.
L’asse radicale gode di alcune proprietà, quali:
- è il luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto alle due circonferenze
- contiene eventuali punti di intersezione
- è perpendicolare alla congiungente i centri delle circonferenze
Sostituendo l’equazione dell’asse radicale al posto di una delle equazioni del sistema (7), per esempio la seconda, si ottiene un nuovo sistema formato da una delle due circonferenze (in questo caso \(\Gamma_1\)) e la retta di equazione (8).
Si nota così molto chiaramente che il problema della ricerca dei punti di intersezione tra le circonferenze è stato ricondotto alla ricerca dei punti di intersezione tra una circonferenza e l’asse radicale (in modo del tutto equivalente).
Scriveremo quindi che il sistema (7) è equivalente a:
Eliminando una delle due variabili dal sistema (9), otteniamo così una equazione di secondo grado che potrà ammettere al più 2 soluzioni distinte a seconda del valore del discriminante \(\Delta\).
Studio del discriminante Δ (delta)
A questo punto si studia il discriminante (o delta) del sistema (9).
Come noto, dalla teoria delle equazioni di secondo grado distingueremo i seguenti casi:
- Δ > 0 → due soluzioni reali → circonferenze secanti in due punti distinti
- Δ = 0 → due soluzioni reali e coincidenti → circonferenze tangenti in un punto (le circonferenze posso essere tuttavia tangenti esternamente (come in Fig.2) o internamente (come in Fig.3) tra loro rispetto al punto di tangenza)
- Δ < 0 → nessuna soluzione reale → circonferenze non intersecanti (tuttavia non è dato sapere, con questo metodo, se esse sono esterne o interne tra loro, come in Fig.4 o Fig.5).
⚠️ Attenzione: per distinguere i casi di circonferenze esterne o interne (sia nel caso di circonferenze tangenti, che non intersecanti), è necessario ricorrere al confronto tra la distanza dei centri \(d\) e le quantità \(|r_1-r_2|\) o \(r_1+r_2\) (vedi metodo geometrico nella prima parte).
Esempi svolti con il metodo analitico
Esempio 4 – Circonferenze secanti (Δ > 0) con asse radicale verticale
Con riferimento alle seguenti circonferenze
determinare gli eventuali punti di intersezione.
SOLUZIONE
Mettendo a sistema le due equazioni dopo averle riportate in forma canonica si ottiene:
da cui, sottraendo membro a membro:
L’asse radicale ha quindi equazione
che ricordiamo è l’equazione di una retta verticale.
Attenzione: per determinare i punti di intersezione in questo caso non è possibile utilizzare l’equazione dell’asse radicale poiché se sostituissimo la radice ottenuta \(x=3\) all’asse radicale si otterrebbe una identità banalmente verificata. In tal caso per trovare eventuali punti di tangenza o di intersezione dovrà necessariamente usarsi l’equazione della circonferenza.
Sostituendo la radice trovata all’equazione della circonferenza, otteniamo:
Si trovano quindi due soluzioni reali e distinte (essendo il discriminante del sistema maggiore di zero), in particolare si ottengono i seguenti punti di intersezione:
Le due circonferenze sono pertanto secanti tra loro nei punti di intersezione \(A\) e \(B\).
Nota: Le equazioni delle circonferenze risultano uguali a quelle proposte nell’esempio 1 (già affrontato con il metodo geometrico) per cui la rappresentazione delle circonferenze coincide con quella già fornita in Fig.7, tuttavia a differenza del caso precedente questa volta si perviene direttamente ai punti di intersezione per stabilire se esse sono secanti o meno.
Esempio 5 – Circonferenze secanti (Δ > 0) con asse radicale inclinato
Stabilire se le seguenti circonferenze
hanno punti in comune ed eventualmente determinarli.
SOLUZIONE
Per prima cosa riportiamo entrambi le equazioni in forma normale (o canonica) come segue:
La sottrazione membro a membro delle equazioni consente di scrivere l’equazione dell’asse radicale:
Risolviamo quindi il seguente sistema:
Possiamo ricavare ad esempio \(x\) dalla seconda
e sostituirla nella prima, ottenendo:
Calcoliamo il \(\Delta\):
Risultando che \(\Delta>0\) le circonferenze sono certamente secanti in due punti distinti.
Troviamo quindi le soluzioni rispetto ad \(y\):
da cui
ed infine i valori di \(x\):
I punti di intersezione sono:
Esempio 6 – Circonferenze tangenti (Δ = 0)
Stabilire se le seguenti circonferenze
hanno punti in comune ed eventualmente determinarli. Determinare inoltre l’equazione dell’asse radicale.
SOLUZIONE
Notiamo che le equazioni sono già scritte in forma canonica per cui possiamo subito procedere alla sottrazione membro a membro per ottenere l’equazione dell’asse radicale:
Adesso se semplifichiamo i quadrati e sommiamo i termini simili otteniamo
che è l’equazione dell’asse radicale.
Per determinare gli eventuali punti di intersezione si procede al solito intersecando una delle due equazioni con l’asse radicale. In sostanza si tratta di risolvere il sistema:
quindi dalla seconda equazione esplicitiamo per esempio la \(y\):
e la sostituiamo nella prima ottenendo:
Svolgendo i calcoli (che lasciamo al lettore per esercizio) e riordinando rispetto ad \(x\) si perviene a:
che risolta rispetto ad \(x\) fornisce
semplificando
da cui la soluzione
che rappresentano le coordinate del punto di tangenza \(A(x_1,y_1)\) delle due circonferenze (Fig.11).
Nota: lo studio della posizione reciproca tra due circonferenze basato sul segno del discriminante consente, nel caso di circonferenze tangenti, di determinarne il punto di tangenza, come visto nell’esempio svolto, tuttavia non è possibile stabilire se le circonferenze sono tangenti esternamente o internamente. Per rispondere a tale questione lasciamo al lettore la verifica della condizione di tangenza esterna seguendo il metodo geometrico studiato nella prima parte dell’articolo.
Esempio 7 – Circonferenze esterne (Δ < 0)
Date le circonferenze di equazione
determinare gli eventuali punti di intersezione e l’asse radicale.
SOLUZIONE
Partiamo al solito cominciando a riscrivere le equazioni delle circonferenze nella formulazione canonica, da cui risulta che
Sottraiamo membro a membro le equazioni per ottenere l’equazione dell’asse radicale:
Per trovare gli eventuali punti di intersezione basterà come al solito sostituire l’equazione dell’asse radicale in una delle due equazioni (consigliamo sempre di utilizzare la più semplice, in questo caso \(\Gamma_1\)) e risolverla rispetto ad una delle due variabili (in questo caso particolare rispetto ad \(y\)).
Quindi sostituendo si ha:
il che è assurdo, non potendo risultare un quadrato un numero negativo.
Deduciamo pertanto che non esistendo alcuna intersezione reale tra l’asse radicale e \(\Gamma_1\), non esiste, allo stesso modo, alcuna intersezione tra le due circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\).
Nota: anche in questo caso, come già visto per le circonferenze tangenti, non è possibile stabilire con questo metodo se esse sono esterne o interne. La risposta può invece trovarsi confrontando la distanza tra i centri ed i rispettivi raggi (come visto sopra con il metodo geometrico).
Notiamo infine che anche se le due circonferenze non hanno punti in comune tra loro, l’asse radicale esiste comunque. Esso si trova più vicino alla circonferenza di raggio maggiore e a sinistra del punto medio \(P_m\) del segmento che congiunge i due centri \(C_1(0,0)\) e \(C_2(5,0)\), il quale ha coordinate \((\frac{5}{2},0)\).
Errori comuni
Di seguito elenchiamo gli errori più comuni che gli studenti incontrano dell’applicare i metodi descritti.
- Dimenticare il valore assoluto \(|r_1 – r_2|\)
Uno degli errori più frequenti è scrivere semplicemente \(r_1 – r_2\) invece di \(|r_1 – r_2|\).
Questo porta a conclusioni errate, soprattutto quando \(r_2 > r_1\).
Regola da ricordare:
la differenza dei raggi va sempre considerata in valore assoluto.
- Errori nel calcolo della distanza tra i centri
La distanza \(d\) è il cuore del metodo geometrico. Errori qui compromettono tutto il risultato.
Errori tipici:
- dimenticare i quadrati
- errori nei segni
- non semplificare correttamente i radicali
Consiglio:
scrivere sempre i passaggi intermedi, evitando calcoli “a mente” nelle fasi iniziali.
- Confondere i casi di tangenza
Molti studenti ricordano che “tangente = un punto”, ma non distinguono tra:
- tangenza esterna → \(d = r_1 + r_2\)
- tangenza interna → \(d = |r_1 – r_2|\)
Questo è importante perché cambia completamente la posizione delle circonferenze.
Suggerimento pratico da ricordare per non sbagliare:
- somma dei raggi → circonferenze “lontane” che si toccano
- differenza dei raggi → una dentro l’altra
Errori nel passaggio all’equazione in forma canonica (metodo analitico)
Nel passaggio alla forma canonica (o normale) si commettono spesso errori di calcolo di sviluppo dei quadrati, come ad esempio:
invece di:
Un errore qui compromette:
- asse radicale
- equazione finale
- discriminante
- soluzioni
Consiglio:
sviluppare sempre con attenzione ogni quadrato e fare molta attenzione ai segni.
Interpretazione errata del discriminante Δ
Nel metodo analitico, il discriminante indica il numero di soluzioni, ma va interpretato correttamente:
- Δ > 0 → due punti distinti
- Δ = 0 → un punto (tangenza)
- Δ < 0 → nessun punto reale
Errore tipico:
- fermarsi al calcolo senza collegarlo al significato geometrico
Regola fondamentale:
Δ non è solo un numero → è una informazione geometrica.
Conclusioni
Lo studio della posizione reciproca tra due circonferenze rappresenta un passaggio fondamentale nella geometria analitica, perché mette in relazione in modo diretto:
- proprietà geometriche (distanze e raggi)
- strumenti algebrici (equazioni e sistemi)
I due metodi analizzati offrono prospettive diverse ma perfettamente coerenti:
- il metodo geometrico consente una classificazione immediata dei casi, rendendo chiara la disposizione delle circonferenze nel piano
- il metodo analitico permette uno studio più generale e rigoroso, valido anche in situazioni meno immediate
Dal punto di vista operativo, si consiglia di:
- utilizzare il metodo geometrico per una prima analisi
- confermare eventualmente il risultato con il metodo analitico o per la ricerca degli eventuali punti in comune.
Infine, è importante sottolineare che dietro ogni calcolo non c’è solo un procedimento tecnico, ma una precisa interpretazione geometrica: ogni risultato ottenuto descrive concretamente come le due circonferenze si incontrano (o non si incontrano) nel piano.
Saper leggere questo legame tra algebra e geometria è l’obiettivo principale dello studio dell’argomento e costituisce una competenza essenziale per affrontare con sicurezza esercizi più avanzati.