Tangente alla circonferenza: equazione e rette da un punto esterno (con esercizi svolti)

Capire come determinare l’equazione della tangente a una circonferenza è uno dei problemi più frequenti (ed importanti) negli esercizi di geometria analitica e rappresenta un passaggio fondamentale nello studio delle relazioni tra rette e curve. In molti esercizi viene richiesto infatti di determinare l’equazione della retta tangente a una circonferenza, sia nel caso in cui risulta noto il punto di tangenza, sia quando la tangente deve essere condotta da un punto esterno.

In questo articolo vedremo come calcolare le tangenti ad una circonferenza in modo chiaro e sistematico, utilizzando due metodi distinti: un metodo più immediato, basato sulla distanza punto-retta (o centro-retta), e un metodo analitico (più generale), fondato sulla condizione di tangenza tramite il discriminante. Completeremo infine la trattazione con esercizi svolti passo passo e con l’analisi del caso particolare in cui il punto di tangenza non sia esterno alla circonferenza, ma appartiene ad essa.

L’obiettivo è fornire una guida completa ed operativa, utile sia per lo studio teorico sia per la risoluzione degli esercizi.

Cos’è la tangente a una circonferenza

Definizione e significato geometrico

Una retta tangente a una circonferenza è una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza, detto punto di tangenza.

Dal punto di vista geometrico, la tangente presenta una proprietà fondamentale: essa è perpendicolare al raggio della circonferenza condotto nel punto di tangenza. In altre parole, se \(C(x_c​,y_c​)\) è il centro della circonferenza e \(A\) e \(B\) i punti di tangenza (come in Fig.1), allora le rette tangenti in \(A\) e in \(B\) sono ortogonali rispettivamente ai segmenti \(CA\) e \(CB\).

Questa proprietà è alla base di uno dei metodi più utilizzati per determinare l’equazione della tangente e verrà ripresa nel seguito. Tuttavia, nello studio analitico, la condizione di tangenza può essere anche espressa in termini algebrici: una retta è tangente a una circonferenza se il sistema formato dalle loro equazioni ammette una sola soluzione reale.

Questa doppia interpretazione, geometrica e analitica, permette di affrontare il problema con approcci diversi, ciascuno con i propri vantaggi.

Equazione della circonferenza e dati necessari al calcolo della retta tangente

Per affrontare il problema, consideriamo l’equazione di una circonferenza scritta nella forma:

dove:

• \(C(x_c, y_c)\) è il centro della circonferenza
• \(r\) è il raggio

Per calcolare le equazioni delle rette tangenti la circonferenza e passanti da un punto esterno \(P(x_0, y_0)\) è necessario conoscere:

1. Le coordinate del centro \(C\)
2. Il raggio \(r\)
3. Le coordinate del punto esterno \(P\)

Rette tangenti condotte da un punto esterno alla circonferenza: inquadramento del problema

Sia dato un punto \(P(x_0, y_0)\) esterno alla circonferenza. Dal punto \(P\) possono essere condotte due tangenti. Il problema consiste nel determinare le equazioni di queste due rette.

Per risolverlo, useremo due metodi distinti:

• Metodo 1: basato sulla distanza punto-retta (vedremo che il punto in questo caso è il centro della circonferenza), più immediato per gli studenti
• Metodo 2: approccio analitico (con discriminante), rigoroso e di validità generale per tutte le coniche

Metodo 1 – Calcolo delle rette tangenti alla circonferenza tramite distanza punto-retta

Equazione della retta e condizione di tangenza

Si consideri una retta generica passante per \(P(x_0, y_0)\) con coefficiente angolare variabile \(m\):

o in forma esplicita:

dove \(q=y_0​−mx_0​\).

Risulta noto dalla teoria che la distanza \(d\) del centro \(C(x_c, y_c)\) dalla generica retta di equazione (2) passante contemporaneamente per \(P\) è data dalla formula:

dove \(a\), \(b\) e \(c\) sono i coefficienti della retta:

derivante dalla semplice manipolazione della (2) o (3) riportate in forma implicita.

Perché la retta sia tangente alla circonferenza, deve valere:

e, conseguentemente, tenendo conto dell’equazione (4) e che il raggio \(r\) della circonferenza è noto perché nota è la sua equazione:

Calcolo delle tangenti

Sostituendo \(q = y_0 – m x_0\)​ a \(c\) e risolvendo l’equazione (7) rispetto a \(m\), si ottengono i due valori dei coefficienti angolari \(m\) delle tangenti alla circonferenza. A questo punto, sostituendo i valori di \(m\) nella (2) oppure nella (3) è possibile scrivere le due equazioni finali delle rette tangenti.

Esercizi svolti (con metodo della distanza punto-retta)

Esercizio 1

Data la circonferenza di equazione

ed un punto \(P\) esterno ad essa di coordinate \(P=(7,0)\), determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza.

SOLUZIONE PASSO-PASSO

Scriviamo l’equazione della retta passante per \(P\) con coefficiente angolare generico \(m\) utilizzando l’equazione del fascio proprio di rette:

Sostituendo le coordinate di \(P(7,0)\) si ha:

La formula della distanza punto-retta richiede la forma (5)

per cui dobbiamo calcolare i coefficienti \(a,b,c\).

Partendo dalla forma \(y=m(x−7)\) ricaviamo:

quindi:

La distanza del centro \(C(0,0)\) dalla retta è dato dalla (4):

Sostituendo i valori:

Affinché la retta sia tangente alla circonferenza deve valere la condizione (6), in formule:

Risulterà pertanto che

Moltiplichiamo entrambi i membri per \(\sqrt{1 + m^2}\):

Eleviamo al quadrato per eliminare il modulo e la radice:

Per trovare le equazioni finali delle rette tangenti la circonferenza basterà a questo punto sostituire uno alla volta i due coefficienti angolari \(m_{1,2}\), alla (2) ottenendo:

Note:

• Ogni retta tocca la circonferenza in un solo punto, come previsto.
• I coefficienti angolari opposti corrispondono alla simmetria rispetto all’asse orizzontale (si veda Fig.2).

Esercizio 2

Data la circonferenza di equazione

ed il punto di coordinate \(P(7,6)\), determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza e passanti per \(P\).

SOLUZIONE PASSO-PASSO

Risolviamo il problema applicando sempre il primo metodo (distanza retta-centro della circonferenza).

Osserviamo innanzitutto che l’equazione della retta di generico coefficiente angolare \(m\) e passante per \(P\) deriva sempre (come già visto per l’esercizio precedente) dall’applicazione del concetto di fascio proprio di rette: in particolare, imponendo il passaggio per \(P\) sostituendo le rispettive coordinate alla (2) si ottiene

che può essere riscritta in forma implicita (5) come

da cui ricaviamo i coefficienti della retta

A questo punto, prima di imporre la condizione \(d=r\), bisogna preliminarmente calcolare il raggio della circonferenza \(r\).

Notiamo che l’equazione della circonferenza è scritta in forma canonica (o normale) e quindi il suo raggio si calcolerà come:

dove, in tal caso

sono i coefficienti della circonferenza.

Mentre il centro \(C\) ha coordinate

Sostituendo i valori numerici alla formula del raggio si ha

A questo punto siamo pronti per imporre la condizione di tangenza (6) in termini geometrici: il raggio \(r\) della circonferenza dovrà infatti risultare pari alla distanza tra centro e retta tangente (4), in formule:

Sostituendo i valori numerici dopo aver imposto la condizione (6) otteniamo:

A questo punto moltiplicando prima ambo i membri per \(\sqrt{m^2 + (-1)^2}\) ed elevando poi al quadrato otteniamo

quindi semplifichiamo ancora sviluppando il quadrato a primo membro e riordinando:

Calcoliamo il \(\Delta\) dell’ultima equazione:

Infine calcoliamo i valori di \(m\):

da cui

Per scrivere le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza basterà sostituire uno alla volta i valori di \(m\) trovati all’equazione della retta di partenza passante per \(P\) ottenendo:

Metodo 2 – Calcolo delle rette tangenti alla circonferenza: condizione analitica (delta uguale a zero)

Impostazione analitica del problema

Consideriamo la circonferenza di equazione

e la generica retta di equazione

passante per un punto \(P(x_0, y_0)\) esterno alla circonferenza.

Sostituendo l’equazione della retta a quella della circonferenza si ottiene un’equazione risolvente quadratica in \(x\):

Imposizione condizione di tangenza

La condizione di tangenza impone che il discriminante dell’equazione quadratica (8) sia nullo:

Risolvendo infine la (9) rispetto ad \(m\) si ottengono le equazioni delle tangenti.

Esercizi svolti (con metodo analitico)

Esercizio 1

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro l’origine e raggio unitario, passanti per il punto di coordinate \(P(0,2)\).

SOLUZIONE PASSO-PASSO

Scriviamo l’equazione della circonferenza di centro l’origine e raggio 1:

Notando che in questo caso il punto \(P\) rappresenta l’ordinata all’origine della generica retta di coefficiente angolare \(m\), l’equazione della retta può scriversi come:

Per risolvere il problema e trovare le equazioni delle rette tangenti bisognerà risolvere il sistema formato dalle due equazioni imponendo che sia \(\Delta=0\), in formule avremo:

Sostituendo la seconda nella prima si ottiene:

da cui, raccogliendo e mettendo in evidenza \(x\):

Imponiamo adesso la condizione di tangenza (\(\Delta=0\)) nell’ultima equazione risolvente per determinare i valori di \(m\).

Risulterà:

Sviluppiamo adesso i calcoli passo passo per calcolare i valori di \(m\):

Sostituendo i valori dei coefficienti angolari all’equazione delle retta si ottengono le seguenti tangenti alla circonferenza:

Esercizio 2

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di centro \(C(-4,-3)\) e raggio \(r=2\) passanti per il punto \(P(1,2)\).

SOLUZIONE PASSO-PASSO

Ricordandoci che la circonferenza di centro \(C(x_c,y_c)\) si scrive:

L’equazione della retta invece si ottiene dalla solita formula del fascio proprio di rette:

dove \(x_0\) ed \(y_0\) sono le coordinate di \(P\), quindi sostituendo si ha:

che sostituita all’equazione della circonferenza fornisce:

Sviluppiamo a questo punto i quadrati ed ordiniamo rispetto ad \(x\):

Calcolando a questo punto il delta dell’ultima equazione e ponendolo uguale a zero otteniamo:

Se sviluppiamo adesso tutti i calcoli dell’equazione precedente (esercizio lasciato al lettore per esercitarsi) troveremo che i termini di grado superiore al secondo si semplificano tutti pervenendo a

che ha come soluzione

Le rette ricercate sono pertanto

Tangente condotta da un punto appartenente alla circonferenza (caso particolare)

Se il punto \(P(x_0, y_0)\) appartiene alla circonferenza, il metodo più semplice per calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza è basato sulla perpendicolarità del raggio.

In tale caso particolare infatti la retta tangente in \(P\) è perpendicolare al raggio \(CP\) per costruzione.

Per trovare l’equazione della tangente calcoleremo dapprima il coefficiente angolare \(m\) del raggio condotto tra i punti \(CP\) con la nota formula per il calcolo del coefficiente angolare, dopodiché, considerato che la retta tangente alla circonferenza passa per un punto che questa volta non è più esterno ma appartiene ad essa, deduciamo che tale retta sarà perpendicolare al raggio \(r\). A questo punto potremo calcolare il coefficiente angolare della retta tangente come

L’equazione finale detta retta tangente in questo caso si scriverà come:

Esempio:

Data la circonferenza \(x^2 + y^2 = 25\) ed il punto P(3,4), dopo aver verificato che \(P\) appartiene ad essa, scrivere l’equazione della retta tangente la circonferenza in \(P\).

SOLUZIONE

Per verificare che il punto \(P\) appartenga effettivamente alla circonferenza è sufficiente sostituire le sue coordinate nell’equazione della circonferenza e controllare che questa si riduca ad una identità:

Concludiamo che il punto appartiene effettivamente alla circonferenza.

Applicando adesso il metodo sopra descritto calcoliamo il coefficiente angolare \(m\) tra i punti \(CP\) osservando che la circonferenza è centrata nell’origine \(C(0,0)\). Si avrà:

Il coefficiente angolare della retta perpendicolare al raggio risulterà quindi

Si ottiene infine, effettuando le dovute sostituzioni, l’equazione finale della retta:

Retta tangente verticale (altro caso particolare)

ESEMPIO SVOLTO

Se consideriamo l’equazione della circonferenza:

Eliminando la \(y\) dal sistema si ha, dopo aver semplificato e riordinato:

Sviluppiamo:

Perché sia tangente deve aversi Δ = 0 (discriminante quadratica in \(x\) nullo), in formule:

che semplificata (lasciamo i calcoli al lettore per esercizio) diventa

Nota: i termini quadratici si sono semplificati e quindi si perviene, come già anticipato, ad una equazione di primo grado che ammette un solo valore di \(m\) che è il coefficiente angolare della retta non parallela all’asse \(y\) di equazione:

L’equazione dell’altra retta può ottenersi attraverso un semplice ragionamento geometrico, per esempio notando che l’ascissa del punto \(P\) coincide con l’ascissa del centro della circonferenza maggiorata del suo raggio (0+1).

L’equazione della retta verticale è

Errori comuni da evitare

Quando si calcolano le tangenti a una circonferenza, anche piccoli dettagli possono generare grandi errori. Ecco i più frequenti:

• Usare un punto “esterno” che in realtà è interno: prima di tutto, è fondamentale verificare che il punto da cui vogliamo condurre le tangenti sia davvero esterno alla circonferenza. Se il punto si trova all’interno, non esistono rette tangenti reali e qualsiasi tentativo di calcolo porterà a soluzioni impossibili.
• Dimenticare la condizione \(d=r\) o \(\Delta = 0\): la tangente è una retta che “tocca” la circonferenza in un solo punto. Questo significa che la distanza tra il centro della circonferenza e la retta deve essere uguale al raggio, oppure, se usiamo il metodo analitico, che il discriminante della quadratica ottenuta sostituendo la retta nell’equazione della circonferenza deve essere zero. Saltare questo passaggio porta inevitabilmente a errori.
• Confondere coefficienti angolari di raggio e tangente: ricordiamo che, nel caso del punto sulla circonferenza, la tangente è perpendicolare al raggio. Confondere il coefficiente angolare del raggio con quello della tangente è un errore classico che cambia completamente la retta corretta.
• Non distinguere tra punto esterno e punto sulla circonferenza: i metodi cambiano leggermente. Per un punto sulla circonferenza conviene calcolare direttamente il coefficiente angolare della tangente tramite la perpendicolarità con il raggio; per un punto esterno, invece, si applicano le condizioni della distanza o del discriminante.
• Segno errato nelle formule per il discriminante: quando si sviluppa \(\Delta = 0\), è facile sbagliare qualche segno durante lo sviluppo dei quadrati o nella moltiplicazione dei termini. Anche un piccolo errore di segno può portare a soluzioni completamente sbagliate, quindi conviene procedere passo passo e ricontrollare i calcoli.

Conclusioni: quale metodo scegliere

Dopo aver visto entrambi i metodi, possiamo trarre alcune considerazioni pratiche:

• Metodo della distanza: è più immediato e intuitivo, ideale per gli studenti. Consente di calcolare le tangenti con pochi passaggi, senza sviluppare l’equazione quadratica. È perfetto per esercizi pratici, controlli e compiti.
• Metodo del discriminante \(\Delta=0\): è più rigoroso e generale. Funziona per tutte le coniche, quindi non solo per le circonferenze, ma anche per parabole, ellissi e iperboli. Aiuta a comprendere meglio la natura analitica della tangente e sviluppa la capacità di applicare concetti di algebra e geometria insieme.
• Caso del punto sulla circonferenza: qui è sempre più rapido applicare la condizione di perpendicolarità tra raggio e tangente. Il coefficiente angolare della tangente si ricava direttamente dall’opposto dell’inverso del coefficiente angolare del raggio, evitando calcoli più lunghi.

In sintesi, entrambi i metodi portano alle stesse soluzioni, ma la scelta dipende dal contesto:

• Per esercizi pratici e compiti, il metodo della distanza è preferibile.
• Per applicazioni più avanzate, per sviluppare la comprensione analitica delle tangenti o per trattare tutte le coniche, il metodo del discriminante è fondamentale.