Il fascio di circonferenze è uno degli strumenti più potenti e affascinanti della geometria analitica. Esso permette infatti di descrivere infiniti cerchi con una sola espressione analitica e di risolvere in modo elegante molti problemi, come determinare una circonferenza passante per punti dati o studiare configurazioni geometriche particolari.
In questo articolo vedremo:
- che cos’è e come si costruisce un fascio di circonferenze a partire da due circonferenze generatrici;
- i diversi tipi di fascio;
- le principali applicazioni con esercizi svolti passo passo.
Cos’è un fascio di circonferenze
Un fascio di circonferenze è un insieme infinito di circonferenze che si ottiene combinando linearmente le equazioni di due circonferenze.
In particolare, siano date due circonferenze di equazioni:
Il fascio generato da \(C_1\) e \(C_2\) è l’insieme delle circonferenze descritte da:
e quindi
dove \(\lambda\) è un parametro reale.
Interpretazione geometrica
Ogni valore di \(\lambda\) individua una specifica circonferenza del fascio. Variando \(\lambda\) otteniamo infinite circonferenze che condividono alcune proprietà comuni. Vediamo di capire nel dettaglio perché.
L’equazione (1) può essere scritta come:
e quindi ancora, se dividiamo per \(1+\lambda\):
nell’ipotesi che \(\lambda\neq-1\).
Notiamo molto chiaramente che la (3) è l’equazione di infinite circonferenze al variare del parametro \(\lambda\). Conseguentemente anche la (3), che deriva direttamente dalla (1), rappresenta l’equazione del fascio di circonferenze generate da \(C_1\) e \(C_2\) al variare di \(\lambda\).
OSSERVAZIONI IMPORTANTI
Per \(\lambda=0\) la (1) coincide con l’equazione della circonferenza \(C_1\) (prima generatrice), mentre l’equazione di \(C_2\) con la formulazione (1) non può essere ottenuta per nessun valore di \(\lambda\).
Notiamo inoltre che per \(\lambda=-1\) l’equazione (2) e conseguentemente anche la (1) si riduce all’equazione dell’asse radicale delle circonferenze \(C_1\) e \(C_2\) che può essere considerato come quella particolare circonferenza degenere del fascio di raggio infinito (una retta può infatti essere pensata come quella particolare circonferenza il cui raggio è infinito).
Altra proprietà del fascio di circonferenze è che i centri di tutte le circonferenze del fascio generato dalle circonferenze \(C_1\) e \(C_2\) si trovano sulla medesima retta e che tale retta è perpendicolare all’asse radicale.
Se le generatrici \(C_1\) e \(C_2\) sono secanti nei punti \(A\) e \(B\) le coordinate di tali punti verificano contemporaneamente le equazioni di \(C_1\) e \(C_2\), conseguentemente \(A\) e \(B\) verificano la (1) sempre, per qualsiasi valore di \(\lambda\) e quindi tutte le infinite circonferenze del fascio generate da \(C_1\) e \(C_2\) passano sempre per i punti \(A\) e \(B\) (Fig.1) al variare di \(\lambda\). In virtù della caratteristica appena enunciata \(A\) e \(B\) prendono il nome di punti base del fascio.
Inoltre, deduciamo che l’asse radicale di \(C_1\) e \(C_2\) è asse radicale anche per qualsiasi altra coppia di circonferenze: in tal caso si parla di asse radicale del fascio.
Potrebbe accadere invece che le circonferenze \(C_1\) e \(C_2\) siano tangenti in un punto \(P_t\). In tal caso ogni circonferenza del fascio passerà per \(P_t\) (punto base) come in Fig.2. Chiaramente in questo ultimo caso l’asse radicale risulterà tangente a tutte le circonferenze del fascio nel punto \(P_t\).
N.B. Nel caso di circonferenze tangenti si stabilisce per convenzione che anche la circonferenza degenere di raggio nullo e di centro \(P_t\) appartenga al fascio di circonferenze.
Infine, se poniamo
l’equazione (1) può riscriversi come:
che consente di ottenere tutte le circonferenze del fascio, compresa la seconda generatrice \(C_2\) per \(n=0\).
Tipi di fascio di circonferenze
A seconda della posizione reciproca delle due circonferenze generatrici, è possibile distinguere i seguenti casi:
- Circonferenze secanti – in tal caso le due circonferenze si intersecano in due punti distinti. Tutte le circonferenze del fascio passano per questi punti che, come visto in precedenza, prendono il nome di punti base del fascio.
- Circonferenze tangenti – in questo caso esse hanno un solo punto in comune e tutte le circonferenze del fascio passano per tale punto. Questo caso può essere visto come una situazione limite rispetto al caso di circonferenze secanti dove i punti di intersezione risultano coincidenti.
- Circonferenze non intersecanti – infine, può verificarsi il caso in cui le circonferenze non abbiano punti in comune. In questa situazione non esistono punti base reali, ma l’equazione del fascio resta comunque valida dal punto di vista analitico. Questo caso è solitamente meno frequente negli esercizi, ma completa la classificazione delle possibili posizioni reciproche.
Esercizi svolti sul fascio di circonferenze
Esercizio 1
Determinare l’equazione del fascio generato dalle circonferenze:
SOLUZIONE
Il fascio di circonferenze in tal caso si ottiene semplicemente applicando l’equazione (1):
Notiamo inoltre che se si sviluppano i prodotti e si raccoglie termine a termine, l’equazione può essere riscritta in maniera del tutto equivalente nella forma (2):
che è una rappresentazione alternativa alla (1).
Di seguito mostriamo il grafico interattivo del risultato al variare di \(\lambda\) che rappresenta le infinite circonferenze del fascio generato dalle circonferenze base.
Esercizio 2
Scrivere l’equazione del fascio di circonferenze passanti per i punti \(A(-1,-3)\) e \(B(2,2)\).
SOLUZIONE
Per risolvere questo esercizio possiamo considerare dapprima la circonferenza avente diametro \(AB\).
In tal caso, il centro \(C(x_c,y_c)\) della circonferenza avrà coordinate coincidenti con il punto medio del segmento \(AB\), in formule:
Calcoliamo adesso il raggio \(r\) di tale circonferenza che sarà pari alla distanza \(CA\):
Ricordando dalla teoria che l’equazione di una circonferenza noti centro e raggio si scrive come:
se sostituiamo i valori numerici si ottiene
la quale può scriversi anche in forma normale come
Se consideriamo adesso l’asse radicale come quella particolare circonferenza di raggio infinito passante per i punti base del fascio \(A\) e \(B\) si ha che l’equazione dell’asse radicale si ottiene semplicemente calcolando l’equazione della retta per due punti, in tal caso si ottiene:
che in forma implicita si scrive
Infine, l’equazione del fascio di circonferenze si ottiene attraverso la combinazione lineare della circonferenza trovata (prima generatrice) e l’asse radicale (come caso limite di circonferenza di raggio infinito), quindi richiamando la (1) e sostituendo le equazioni si ottiene:
Esercizio 3
Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta di equazione \(x+3y-2=0\) nel suo punto \(P\) di ascissa 3.
SOLUZIONE
Dal momento che il punto \(P\) appartiene alla retta possiamo immediatamente ricavarne l’ordinata. Si avrà infatti:
da cui
Sappiamo dalla teoria che la circonferenza degenere di raggio nullo è anch’essa appartenente al fascio e quindi questa può scriversi come:
che può essere riscritta, dopo aver sviluppato i quadrati, come:
che rappresenta la prima generatrice del fascio.
La seconda generatrice è rappresentata invece dalla retta tangente il fascio il \(P\), ovverosia dall’asse radicale che ha equazione \(x+3y-2=0\).
Combinando linearmente le due generatrici si ottiene l’equazione del fascio di circonferenze tangenti in \(P\) la retta di equazione data ottenendo così:
Esercizio 4
Si determinino i punti base del fascio di circonferenze di equazione
SOLUZIONE
Occorre preliminarmente porre l’equazione data nella forma (1). Si ha che:
quindi ordinando secondo la forma (1) si ottiene:
che rappresenta l’equazione del fascio di circonferenze generate dalla circonferenza:
e dall’asse radicale di equazione:
I punti base del fascio si possono ottenere come intersezione tra la prima generatrice e l’asse radicale risolvendo il seguente sistema:
Risolviamo il sistema ottenuto (sostituendo per esempio la seconda equazione nella prima dopo aver esplicitato \(y\)).
Dalla seconda equazione si ottiene:
che sostituita alla prima fornisce:
da cui, semplificando:
calcoliamo il delta dell’ultima equazione:
quindi le soluzioni:
Calcoliamo infine i valori di \(y\):
Si ottengono così i punti di intersezione \(A(x_1,y_1)\) e \(B(x_2,y_2)\) che rappresentano i punti base del fascio di circonferenze (Fig.3).
Errori comuni nei fasci di circonferenze
Nello studio dei fasci di circonferenze è facile incorrere in alcuni errori, spesso legati sia ad aspetti algebrici sia a una lettura poco attenta del significato geometrico. Essere consapevoli di queste difficoltà permette di evitare passaggi scorretti e di affrontare gli esercizi in modo più sicuro.
Un primo errore consiste nel dimenticare il parametro λ. Il fascio di circonferenze è definito proprio come combinazione lineare di due equazioni e il parametro è ciò che consente di ottenere un’intera famiglia di circonferenze. Se λ non compare, non si sta più descrivendo un fascio, ma una singola circonferenza, perdendo completamente il senso del problema.
Un’altra difficoltà frequente riguarda la semplificazione dell’equazione. Dopo aver sviluppato i calcoli, è fondamentale raccogliere correttamente i termini simili e scrivere l’equazione nella forma standard \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). Lasciare l’espressione in forma disordinata può rendere più difficile individuare il centro, il raggio o eventuali proprietà particolari del fascio.
È inoltre importante non confondere i diversi tipi di fascio. Non tutte le famiglie di circonferenze hanno le stesse caratteristiche: in alcuni casi esistono due punti base reali, in altri no. Per questo motivo è necessario verificare se le circonferenze hanno punti in comune e, in caso affermativo, determinarli esplicitamente.
Un errore particolarmente insidioso è quello di non considerare i casi particolari del parametro λ. Alcuni valori del parametro possono infatti modificare radicalmente l’equazione, ad esempio facendo scomparire i termini quadratici. In queste situazioni la circonferenza degenera in una retta, che rappresenta un elemento limite del fascio. Trascurare questi casi significa non descrivere completamente la famiglia di curve.
Infine, spesso si tende a concentrarsi solo sui calcoli, senza interpretare il risultato dal punto di vista geometrico. È invece fondamentale chiedersi quali siano i punti fissi del fascio, come si muovono i centri delle circonferenze e quale sia il ruolo dell’asse radicale. Una corretta interpretazione geometrica aiuta non solo a comprendere meglio il problema, ma anche a prevenire errori nei passaggi algebrici.
In sintesi, gli errori più comuni derivano da una gestione superficiale del parametro, da una scarsa attenzione alla forma dell’equazione e da una mancata interpretazione geometrica. Curando questi aspetti, lo studio dei fasci di circonferenze diventa molto più chiaro e sistematico.
Conclusione
Il fascio di circonferenze rappresenta uno strumento fondamentale della geometria analitica poiché consente di descrivere con un’unica espressione un’intera famiglia di circonferenze. Questo approccio permette di affrontare problemi anche complessi in modo più ordinato e sistematico, evitando di dover studiare separatamente ogni singolo caso. Inoltre, offre una visione più profonda delle relazioni tra le figure geometriche, mettendo in evidenza elementi comuni come i punti base, l’asse radicale e le trasformazioni che collegano le diverse circonferenze del fascio.