La circonferenza è una delle figure geometriche più studiate della geometria analitica piana. Essa appartiene alla famiglia delle coniche (comprendenti anche parabola, ellisse ed iperbole) e compare in molteplici situazioni e problemi di geometria analitica ed in generale nello studio delle coniche, come ad esempio nei problemi di tangenza, nelle intersezioni tra rette e curve ed altro ancora.
Lo studio della circonferenza consente inoltre di affrontare problemi molto diversi tra loro, come ad esempio:
- determinare centro e raggio a partire dalla sua equazione;
- stabilire la posizione reciproca tra una retta e una circonferenza;
- calcolare le equazioni delle rette tangenti;
- costruire circonferenze passanti per punti assegnati;
- analizzare fasci di circonferenze;
- interpretare graficamente alcune disequazioni irrazionali tramite semicirconferenze.
In questa guida vengono trattati in modo ordinato tutti i concetti fondamentali relativi alla circonferenza nel piano cartesiano, dalle definizioni di base fino alle applicazioni più importanti. La trattazione parte dalla definizione di luogo geometrico e procede fino ai principali metodi risolutivi utilizzati negli esercizi.
Cos’è la circonferenza nel piano cartesiano
Definizione di circonferenza
Nel piano cartesiano, la circonferenza è definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza costante tra tale luogo geometrico ed il centro prende il nome di raggio \(r\).
Se indichiamo allora con \(C(x_0,y_0)\) il centro e con \(P(x,y)\) un punto generico della circonferenza, ne consegue che la distanza \(CP\) dovrà sempre risultare uguale al raggio \(r\).
Dal punto di vista analitico, l’equazione della circonferenza si ricava direttamente a partire dalla formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano.
Dovendo infatti risultare per definizione di circonferenza che
si ha che la distanza tra il centro \(C(x_0,y_0)\) ed un generico punto \(P(x,y)\) potrà scriversi come:
Imponendo che tale distanza sia uguale al raggio \(r\) si ottiene infine
da cui elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene l’equazione della circonferenza nella forma:
Centro e raggio
Ogni circonferenza è completamente determinata da due elementi:
- il centro \(C(x_0,y_0)\), che individua la posizione della circonferenza nel piano;
- il raggio \(r\), che ne determina la dimensione.
Il raggio è sempre un numero positivo, mentre le coordinate del centro possono assumere qualsiasi valore reale.
Ad esempio, una circonferenza di centro \(C(2,-1)\) e raggio \(r=3\) è l’insieme di tutti i punti del piano la cui distanza è esattamente uguale a 3 dal punto \(C\) (Fig.2).
Equazione della circonferenza noto centro e raggio
L’equazione (2) rappresenta una forma particolare della circonferenza; in essa vengono infatti direttamente esplicitati il centro \(C\) ed il raggio \(r\), consentendo immediatamente di “visualizzare” la conica nel piano cartesiano.
ESEMPIO
Consideriamo la circonferenza:
Confrontando questa equazione con la (2) si ricava immediatamente:
Concludiamo pertanto che il centro \(C\) avrà coordinate:
mentre il raggio \(r\) vale:
La forma dell’equazione della circonferenza noto il centro e il raggio (2) è certamente tra le più semplici da interpretare dal punto di vista geometrico ed è spesso il punto di arrivo dei procedimenti di completamento del quadrato applicati all’equazione generale.
Equazione generale (o canonica) della circonferenza
Molto spesso la circonferenza viene scritta nella forma:
La (3) rappresenta l’equazione generale (o canonica) della circonferenza e a differenza della forma centro-raggio (2) questa volta il centro e il raggio non sono immediatamente “visibili” ma devono essere ricavati tramite opportune tecniche come il completamento del quadrato (ma non solo).
Quando un’equazione rappresenta una circonferenza
La (3) non sempre rappresenta l’equazione di una circonferenza per ogni possibile combinazione dei coefficienti \(\alpha, \beta\) e \(\gamma\). Difatti, è noto che un’equazione di secondo grado in \(x\) e \(y\) rappresenta una circonferenza solamente quando sono soddisfatte simultaneamente le seguenti condizioni:
- i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) sono uguali tra loro;
- non compare il termine misto \(xy\);
- il raggio della circonferenza è positivo.
ESEMPIO
L’equazione:
soddisfa banalmente le prime due condizioni sopra esposte in quanto i coefficienti dei termini quadratici sono identici tra loro e non è presente il termine misto. Tuttavia, per assicurarsi che tale equazione rappresenta una circonferenza reale è necessario inoltre verificare che raggio risulti positivo! Per controllare quest’ultimo punto, come già accennato, è possibile utilizzare il completamento dei quadrati (anche se non è l’unica tecnica possibile). Vediamo in particolare come.
Notiamo che l’equazione data può essere scritta come:
e quindi ancora come
e quindi ancora come
che rappresenta l’equazione di una circonferenza di raggio cinque e centrata nel punto di coordinate \(C(2,-3)\).
Attenzione
A titolo di esempio l’equazione:
non rappresenta una circonferenza perché i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) sono diversi tra loro.
Oppure ancora l’equazione
non rappresenta alcuna circonferenza reale. Se proviamo infatti a completare i quadrati otteniamo:
da cui
L’equazione così ottenuta non può rappresentare alcuna curva reale in quanto la somma di quadrati non può mai dar luogo ad un numero negativo (in questo caso -3). Conseguentemente l’equazione data non rappresenta una circonferenza.
Come trovare centro e raggio di una circonferenza
Uno dei procedimenti per poter ricavare il centro ed il raggio di una circonferenza a partire dalla forma canonica consiste nel completamento del quadrato applicato separatamente ai termini in \(x\) ed \(y\).
ESEMPIO
Consideriamo l’equazione della circonferenza in forma canonica:
Raggruppiamo i termini:
Completiamo il quadrato in \(x\) aggiungendo e sottraendo 9, e in \(y\) aggiungendo e sottraendo 4:
Da cui si ricava:
- centro \(C(3,-2)\);
- raggio \(r=\sqrt{16}=4\).
Per un approfondimento completo con esempi svolti sul calcolo del centro e del raggio della circonferenza puoi consultare l’articolo “Equazione generale della circonferenza“.
Come determinare l’equazione di una circonferenza
Tra i problemi più frequenti della geometria analitica vi è la determinazione dell’equazione di una circonferenza a partire da condizioni note. Per esempio è possibile conoscere il centro ed il raggio ed è richiesto di calcolare l’equazione della circonferenza. Oppure ancora potrebbe essere richiesta l’equazione noto il centro ed un punto appartenente ad essa oppure ancora l’equazione della circonferenza per tre punti.
Circonferenza dati centro e raggio
Se sono noti il centro \(C(x_0,y_0)\) e il raggio \(r\), si utilizza direttamente la forma (2) sostituendo i valori noti.
ESEMPIO
Determinare l’equazione della circonferenza di centro \(C(1,-2)\) e raggio \(r=2\).
Sostituendo le coordinate del centro ed il raggio nella forma (2) si ottiene direttamente:
Circonferenza di centro noto e passante per un punto
Se sono noti il centro \(C(x_0,y_0)\) e un punto \(P(x_1,y_1)\) appartenente alla circonferenza, in tal caso è possibile calcolare immediatamente il raggio con la formula della distanza tra due punti.
ESEMPIO
Centro \(C(-3,-5)\), punto \(P(1,2)\).
L’equazione della circonferenza in tal caso si ottiene nuovamente utilizzando la (2):
Circonferenza passante per tre punti
Uno dei problemi classici che si incontrano in geometria analitica durante lo studio della circonferenza è quello relativo alla determinazione della sua equazione a partire dalla conoscenza di tre punti appartenenti ad essa.
Infatti, è noto dalla teoria che tre punti nel piano non allineati tra loro individuano una e una sola circonferenza. In questo caso, per poter determinare l’equazione della circonferenza conviene utilizzare la forma (3):
La sostituzione delle coordinate note dei tre punti nell’equazione consente di ottenere un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\). La soluzione del sistema fornisce i coefficienti dell’equazione cercata.
ESEMPIO
Determinare la circonferenza passante per \(A(1,0)\), \(B(0,1)\), \(C(-1,0)\).
Sostituendo le coordinate dei tre punti uno per volta nell’equazione generale si ottiene il seguente sistema lineare di tre equazioni in tre incognite:
cioè
che risolto fornisce i valori
Sostituendo i valori trovati all’equazione (3) si ottiene infine l’equazione della circonferenza:
ovvero la circonferenza di centro \(C(0,0)\) e raggio \(r=1\).
Per approfondire l’argomento in maniera completa con ulteriori esempi consigliamo di consultare l’articolo dedicato alla circonferenza passante per tre punti.
Posizione reciproca tra retta e circonferenza
Una retta e una circonferenza nel piano cartesiano possono trovarsi in tre diverse configurazioni reciproche:
- secanti: la retta interseca la circonferenza in due punti distinti;
- tangenti: la retta ha un solo punto in comune con la circonferenza;
- esterne: la retta non ha punti in comune con la circonferenza ed è quindi esterna ad essa.
Tale classificazione è basata sul confronto tra la distanza \(d\) del centro della circonferenza dalla retta e il raggio \(r\).
Ricordando inoltre che la distanza di un punto \(C(x_0,y_0)\) da una retta di equazione \(ax+by+c=0\) si esprime come:
risulteranno, per ciascuno dei tre casi, le condizioni esposte nei sotto-paragrafi a seguire.
Retta secante
La retta è secante la circonferenza quando interseca la circonferenza in due punti distinti. Ciò si verifica quando la distanza \(d\) tra il centro e la retta è minore del raggio:
Retta tangente
La retta è tangente la circonferenza quando ha solo un punto in comune con essa. In tal caso dovrà risultare:
Detto altrimenti, la distanza \(d\) tra il centro e la retta è uguale al raggio.
Retta esterna
La retta è esterna alla circonferenza quando non ha alcun punto in comune con essa. In quest’ultimo caso dovrà essere soddisfatta la condizione:
In altre parole la distanza \(d\) tra centro e retta è maggiore del raggio.
Metodo analitico con il discriminante
Un metodo alternativo al confronto tra la distanza centro-retta ed il raggio della circonferenza consiste nel mettere a sistema le equazioni della retta e della circonferenza al fine di ottenere un’equazione (o disequazione) di secondo grado. L’analisi del discriminante \(\Delta\) di questa equazione fornisce la seguente classificazione:
I due metodi, l’uno basato sulla distanza centro-retta, l’altro basato sul concetto di discriminante sono del tutto equivalenti e conducono sempre alla stessa classificazione. Tuttavia il metodo del discriminante ha validità più generale e può essere utilizzato per qualunque altra conica.
Per la trattazione completa con esempi svolti puoi consultare l’articolo dedicato: Posizione reciproca tra retta e circonferenza.
Tangente alla circonferenza
Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa. In tal caso, il punto di contatto prende il nome di punto di tangenza. Inoltre, la retta tangente ad una circonferenza gode di un importante proprietà: nel punto di tangenza, la retta è perpendicolare al raggio della circonferenza condotto in tale punto.
Equazione della retta tangente passante per un punto noto appartenente alla circonferenza
Data la circonferenza di equazione:
di centro
e un punto \(P(x_P,y_P)\) appartenente ad essa, l’equazione della retta tangente alla circonferenza in \(P\) si scrive come:
con
Questo risultato non sorprende in quanto la (4) rappresenta la retta scritta nella forma punto-pendenza passante per \(P\) con coefficiente angolare opposto del reciproco (condizione di perpendicolarità) rispetto a quello della retta passante per \(C\) e \(P\) definito dalla (5).
Esempio
Determinare la tangente alla circonferenza \(x^2 + y^2 – 4x + 2y – 20 = 0\) nel punto \(P(6,2)\).
In questo caso si procede verificando dapprima che \(P\) appartenga alla circonferenza sostituendo le coordinate del punto \(P\) all’equazione:
che risulta vera, quindi \(P\) appartiene ad essa.
A questo punto calcoliamo le coordinate del centro \(C\) come segue:
A questo punto applicando le (4) e (5) e sostituendo i valori si ha:
quindi semplificando
che rappresenta l’equazione della retta tangente alla circonferenza data in \(P\) (Fig.3).
Tangenti alla circonferenza condotte da un punto esterno
Se un punto \(Q(x_1,y_1)\) è esterno alla circonferenza, da esso si possono condurre due rette tangenti distinte. Il metodo generale per trovarle consiste nell’imporre la condizione di tangenza \(d = r\), dove \(d\) è la distanza del centro dalla retta, oppure nell’annullare il discriminante del sistema retta-circonferenza.
Per la trattazione completa comprensiva di numerosi esempi svolti si consiglia di consultare l’articolo dedicato: Tangente alla circonferenza.
Posizione reciproca tra due circonferenze
Nel piano cartesiano due circonferenze possono trovarsi in diverse configurazioni o posizioni reciproche classificate in base al confronto tra la distanza \(d\) tra i centri e i raggi \(r_1\) e \(r_2\).
Indicando quindi con \(C_1\) e \(C_2\) i centri di due generiche circonferenze e con \(d = |C_1C_2|\) la distanza tra i centri, potranno aversi i casi di seguito indicati.
Circonferenze esterne
Due circonferenze sono esterne l’una rispetto all’altra quando non hanno punti in comune e ciascuna è esterna all’altra. La condizione analitica è data da:
In questo caso è possibile condurre quattro rette tangenti comuni: due tangenti esterne e due tangenti interne.
Circonferenze tangenti esternamente e internamente
Quando due circonferenze sono tangenti esternamente deve essere soddisfatta la relazione: \(d = r_1 + r_2\). In questo caso esistono tre tangenti comuni: due esterne e una interna nel punto di tangenza. Quando le due circonferenze sono tangenti internamente deve invece valere la relazione: \(d = |r_1 – r_2|\). In quest’ultimo caso esiste una sola tangente comune, nel punto di tangenza.
Circonferenze secanti
Due circonferenze sono secanti quando hanno due punti in comune. La condizione analitica in tal caso si scrive come:
ed esistono solamente due rette tangenti comuni esterne.
Circonferenze concentriche
Due circonferenze sono concentriche quando hanno lo stesso centro (\(d = 0\)) e raggi diversi. In tal caso le circonferenze non hanno punti in comune e non ammettono tangenti comuni.
La tabella seguente riassume i casi possibili:
| Condizione | Configurazione | N. di punti comuni |
|---|---|---|
| \(d > r_1 + r_2\) | Circonferenze esterne | 0 |
| \(d = r_1 + r_2\) | Circonferenze tangenti esternamente | 1 |
| \(d = |r_1 – r_2|\) | Circonferenze tangenti internamente | 1 |
| \(|r_1 – r_2|<d<r_1 + r_2\) | Circonferenze secanti | 2 |
| \(d = 0\) | Concentriche non coincidenti | 0 |
| \(d = 0\) | Coincidenti | infiniti |
Per la trattazione completa con esempi svolti consulta l’articolo dedicato sulla Posizione reciproca tra due circonferenze.
Fascio di circonferenze
Il fascio di circonferenze rappresenta una famiglia di circonferenze che condivide alcune proprietà geometriche in comune. Nello studio della circonferenza si distinguono in particolare due tipi principali di fascio: proprio e improprio.
Fascio proprio e fascio improprio
Un fascio proprio di circonferenze è l’insieme di tutte le circonferenze passanti per due punti fissi \(A\) e \(B\). Ogni circonferenza del fascio soddisfa l’equazione:
dove \(\gamma_1 = 0\) e \(\gamma_2 = 0\) sono le equazioni di due circonferenze del fascio con \(\lambda \in \mathbb{R}\) che rappresenta un parametro reale.
Al variare di tale parametro si ottengono tutte le circonferenze relative a quel fascio.
Un fascio improprio di circonferenze è invece l’insieme di tutte le circonferenze tangenti a una retta fissa in un punto fisso. La retta base del fascio improprio è essa stessa un elemento degenere del fascio.
Asse radicale
L’asse radicale di due circonferenze è il luogo geometrico dei punti che hanno uguale potenza rispetto a entrambe le circonferenze. Per due circonferenze secanti, l’asse radicale coincide con la retta passante per i due punti di intersezione. Per due circonferenze esterne o interne, l’asse radicale è perpendicolare alla retta dei centri e non interseca nessuna delle due circonferenze.
Analiticamente, l’asse radicale si ottiene sottraendo membro a membro le equazioni generali delle due circonferenze, ottenendo un’equazione lineare, cioè una retta.
Data la complessità dell’argomento, per la trattazione completa comprensiva di esempi e applicazioni consigliamo lo studio dell’articolo di approfondimento dedicato sul fascio di circonferenze.
Metodo grafico per disequazioni irrazionali con semicirconferenze
L’equazione \(y = \sqrt{r^2 – x^2}\) rappresenta la semicirconferenza superiore di centro nell’origine e raggio \(r\), mentre \(y = -\sqrt{r^2 – x^2}\) ne rappresenta la semicirconferenza inferiore.
Questo legame geometrico consente di risolvere graficamente alcune disequazioni irrazionali nella forma:
Il metodo risolutivo grafico consiste nel tracciare nel piano cartesiano la semicirconferenza e il grafico di \(f(x)\) separatamente per poi individuare gli intervalli in cui una curva si trova al di sopra o al di sotto dell’altra.
Il metodo della semicirconferenza
Per risolvere graficamente una disequazione irrazionale con semicirconferenza si seguono i passi seguenti:
- si riconosce la semicirconferenza \(y = \sqrt{r^2 – x^2}\) (superiore) o \(y = -\sqrt{r^2 – x^2}\) (inferiore);
- si traccia la semicirconferenza di centro \(O(0,0)\) e raggio \(r\);
- si traccia il grafico della funzione \(f(x)\) al secondo membro;
- si individua graficamente dove la semicirconferenza si trova al di sopra o al di sotto di \(f(x)\);
- si leggono gli intervalli soluzione sulle ascisse.
Esempio applicativo
Risolvere la disequazione \(\sqrt{4 – x^2} > x + 1\).
La funzione \(y = \sqrt{4 – x^2}\) rappresenta la semicirconferenza superiore di centro \(O(0,0)\) e raggio \(r=2\). La funzione \(y = x + 1\) è una retta con coefficiente angolare 1 e intercetta 1.
Tracciando i due grafici, la disequazione è soddisfatta negli intervalli in cui la semicirconferenza si trova al di sopra della retta. Dall’intersezione dei due grafici si determinano gli estremi dell’intervallo soluzione.
Puoi approfondire l’argomento relativo alla risoluzione grafica delle disequazioni irrazionali con semicirconferenze nell’articolo dedicato: Metodo grafico per disequazioni irrazionali con semicirconferenze. Potrai trovare tanti esercizi svolti passo-passo in ordine di difficoltà crescente.
Esercizi sulla circonferenza
Di seguito sono proposti alcuni esercizi rappresentativi delle principali tipologie di problemi sulla circonferenza nel piano cartesiano.
Esercizio su centro e raggio
Determinare centro e raggio della circonferenza:
SOLUZIONE
Completando il quadrato si ottiene:
Conseguentemente risulta:
Centro \(C(4,-3)\), raggio \(r=3\).
Esercizio su rette tangenti
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza \(x^2 + y^2 = 25\) condotte dal punto esterno \(P(7,1)\).
SOLUZIONE
Si imposta il sistema con la retta generica per \(P\) e si annulla il discriminante, oppure si applica la condizione \(d = r\). Il calcolo conduce alle due tangenti:
Esercizio su circonferenze passanti per punti noti
Determinare l’equazione della circonferenza passante per \(A(0,0)\), \(B(4,0)\), \(C(0,6)\).
SOLUZIONE
Sostituendo nell’equazione generale \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\):
Da cui \(\alpha = -4\), \(\beta = -6\), \(\gamma = 0\).
Sostituendo i valori trovati otteniamo la seguente equazione:
con centro \(C(2,3)\) e raggio \(r = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}\).
Per una raccolta completa di esercizi svolti con tutti i casi tipici puoi consultare: Esercizi svolti sulla circonferenza.
Formulario della circonferenza
| Cosa vuoi calcolare? | Formula |
|---|---|
| Equazione del luogo geometrico (centro-raggio) | \((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\) |
| Equazione canonica (o normale) | \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) |
| Coordinate del centro della circonferenza (da forma canonica) | \(C\left(-\frac{\alpha}{2},\,-\frac{\beta}{2}\right)\) |
| Raggio (da forma canonica) | \(r =\sqrt{\frac{\alpha^2+\beta^2}{4} – \gamma}\) |
| Condizione di esistenza | \(\alpha^2 + \beta^2 – 4\gamma \geq 0\) |
| Condizione di tangenza (retta) | \(d = r\) oppure \(\Delta=0\) |
| Equazione retta tangente nel punto \((x_P,y_P)\) | \(y-y_P=-\frac{1}{m}(x-x_P)\) |
Domande frequenti sulla circonferenza
Come si riconosce se un’equazione rappresenta una circonferenza?
Un’equazione di secondo grado rappresenta una circonferenza se i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) sono uguali tra loro e non compare il termine misto \(xy\). Dopo aver verificato queste condizioni, occorre inoltre controllare che il valore di \(r^2\) ottenuto dal completamento del quadrato sia positivo.
Come si trovano centro e raggio dall’equazione canonica?
Si applica il completamento del quadrato separatamente ai termini in \(x\) e ai termini in \(y\) a partire dalla forma canonica. In alternativa si utilizzano direttamente le formule \(x_0 = -\alpha/2\), \(y_0 = -\beta/2\) e \(r^2 = (\alpha^2+\beta^2)/4 – \gamma\).
Quando una retta è tangente a una circonferenza?
Una retta è tangente a una circonferenza quando la distanza del centro dalla retta è uguale al raggio: \(d = r\). In alternativa, sostituendo l’equazione della retta in quella della circonferenza si ottiene un’equazione di secondo grado il cui discriminante è nullo.
Come si determina la circonferenza passante per tre punti?
Si utilizza la forma generale \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) e si sostituiscono le coordinate dei tre punti uno per volta ottenendo un sistema lineare di tre equazioni nelle incognite \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\). La soluzione del sistema fornisce l’equazione cercata.
Come si trova l’equazione della retta tangente alla circonferenza condotta da un punto esterno?
Si scrive la retta generica passante per il punto esterno e si impone la condizione \(d = r\), dove \(d\) è la distanza del centro dalla retta. L’equazione risultante fornisce il valore del coefficiente angolare, da cui si ricavano le equazioni delle due tangenti. In alternativa si impone la condizione analitica di tangenza \(\Delta=0\).