In un precedente articolo abbiamo trattato lo studio della parabola in forma canonica con asse coincidente con l’asse delle ordinate.
In questo articolo, che rappresenta la naturale estensione, nonché la generalizzazione della trattazione relativa alla parabola in forma canonica, rimuoveremo l’ipotesi che il suo vertice \(V\) sia coincidente con l’origine del piano cartesiano \(O\) e concentreremo la nostra attenzione su una generica parabola avente asse parallelo all’asse delle ordinate \(y\) determinandone l’equazione e le caratteristiche fondamentali che la identificano (es: asse di simmetria, vertice, fuoco e direttrice).
Determinazione dell’equazione della parabola ad asse verticale (mediante traslazione del sistema di riferimento)
Con riferimento alla Fig.1, consideriamo nel sistema di riferimento \(Oxy\) una parabola \(\Gamma\) ad asse verticale con vertice \(V(x_0,y_0)\). Se adesso riferiamo la stessa parabola \(\Gamma\) al sistema di riferimento traslato \(O’x’y’\), sappiamo dalla teoria della parabola canonica che la parabola, in quest’ultimo sistema di riferimento, viene descritta dall’equazione
Sempre dalla Fig.1 possiamo notare graficamente che le equazioni che definiscono il legame di traslazione tra i due riferimenti \(Oxy\) ed \(O’x’y’\) assumono la forma:
da cui può immediatamente ricavarsi:
Sostituendo le (3) alla (1) si ottiene la seguente formulazione:
La (4) rappresenta l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle \(y\) e vertice nel generico punto di coordinate \(V(x_0,y_0)\).
Nota: Se consideriamo il parametro \(a\) variabile, la (4) rappresenta una famiglia di parabole, ovvero tutte quelle di vertice \(V(x_0,y_0)\) ed asse parallelo all’asse \(y\).
Sviluppando il quadrato nella (4) e riordinando, si ottiene:
A questo punto se nella precedente equazione poniamo:
la stessa può essere riscritta come:
che rappresenta l’equazione di una generica parabola ad asse verticale (parallelo all’asse delle ordinate \(y\)).
Legame algebrico-geometrico tra le funzioni razionali intere di secondo grado del tipo \(y=ax^2+bx+c\)
In questo paragrafo, propedeutico alla determinazione analitica di fuoco, direttrice, asse e vertice della generica parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\) vogliamo dimostrare che ogni equazione del tipo (5) rappresenta una parabola ad asse verticale.
Per dimostrare ciò, partendo dalla (5), osserviamo che la stessa, dopo aver posto \(\Delta=b^2-4ac\), si può scrivere come:
da cui si ricava
e quindi ancora
Ponendo adesso:
la (6) diventa:
che è essenzialmente analoga alla (1).
Osserviamo inoltre che le relazioni (7) e (8) possono anche scriversi come:
che altro non rappresentano una traslazione del riferimento \(Oxy\) in \(O’x’y’\).
Dal confronto tra le equazioni (10) e (11) e le (2) si ottiene:
che rappresentano le coordinate dell’origine \(O’\) lette nel sistema di riferimento \(Oxy\) e pertanto potremo scrivere:
Osserviamo infine che il grafico della funzione (9) è una parabola ad asse verticale avente vertice coincidente con l’origine degli assi del sistema \(O’x’y’\) e per asse di simmetria l’asse \(y’\), pertanto anche l’equazione (5) che riscriviamo per comodità:
rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle \(y\).
Vertice ed asse di simmetria di una parabola con asse parallelo all’asse \(y\).
Per determinare le coordinate del vertice della parabola \(\Gamma\) di equazione
si osserva che il punto di coordinate
rappresenta il vertice della parabola (9) nel riferimento \(O’x’y’\) e pertanto dalle (10) e (11) si ricava:
che rappresentano le coordinate del vertice della parabola \(\Gamma\) nel sistema di riferimento \(Oxy\).
Per ricavare l’equazione dell’asse di simmetria della parabola nel sistema di riferimento \(Oxy\) notiamo che il medesimo asse nel sistema \(O’x’y’\) ha equazione \(x’=0\) e pertanto tenendo conto della (10) si ottiene:
Fuoco e direttrice di una parabola con asse parallelo all’asse \(y\).
Le coordinate del fuoco e della direttrice della parabola \(\Gamma\) possono ottenersi a partire dai risultati già noti per il caso di parabola canonica ad asse verticale.
Nella situazione descritta in questo articolo appare evidente che la parabola canonica è riferita al sistema \(O’x’y’\) e pertanto le coordinate del fuoco valgono \(x’=0\) e \(y’=\frac{1}{4a}\). Per ottenere quindi le coordinate del fuoco della parabola nel sistema di riferimento \(Oxy\) sarà sufficiente tenere conto delle equazioni di trasformazione (10) e (11) che, per \(x’=0\) e \(y’=\frac{1}{4a}\), diventano:
Per quanto riguarda l’equazione della direttrice, sappiamo dalla teoria della parabola canonica che questa si esprime con l’equazione:
e quindi, tenendo ancora conto delle trasformazioni di coordinate (10) e (11) si ottiene:
La (17) rappresenta l’equazione della direttrice di una generica parabola ad asse verticale.
N.B. Il segno di \(a\) della (5), analogamente al caso della parabola canonica con vertice nell’origine, ne determina la concavità, in particolare:
- se \(a>0\) la parabola volge la concavità verso l’alto ed il vertice costituisce il punto di minima ordinata;
- se \(a<0\) la parabola volge la concavità verso il basso ed il vertice costituisce il punto di massima ordinata;
- se \(a=0\) la parabola degenera in una retta.
Formule di riepilogo della parabola ad asse verticale
| Descrizione | Formula |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(x=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\) |
| direttrice | \(y=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso l’alto | \(a>0\) |
| concavità verso il basso | \(a<0\) |
Esercizi svolti sulla parabola ad asse verticale
ESERCIZIO 1
Determinare il vertice ed il fuoco della parabola di equazione \(y=x^2+2x-1\). Determinarne la concavità.
SOLUZIONE
I coefficienti dell’equazione della parabola assegnata valgono:
da cui può immediatamente calcolarsi:
Dalla teoria della parabola ad asse verticale sappiamo che il vertice ha coordinate:
Mentre il fuoco può calcolarsi come:
Di seguito in Fig.2 mostriamo il grafico della parabola in questione mettendo in evidenza il vertice \(V\) ed il fuoco \(F\).
La parabola volge la concavità verso l’alto, risultando positivo il coefficiente del termine quadratico (\(a=1>0\)).
ESERCIZIO 2
Data la parabola di equazione \(y=-x^2+2x+3\), determinare le coordinate del fuoco. Si determinino inoltre le equazioni della direttrice e dell’asse di simmetria, infine studiare la concavità della parabola.
SOLUZIONE
La soluzione dell’esercizio è immediata. In particolare le coordinate del fuoco, analogamente a quanto già visto nell’esercizio precedente, si calcolano sempre a partire dalla conoscenza dei coefficienti \(a,b\) e \(c\), in particolare si ha:
da cui
e quindi
L’equazione della direttrice può scriversi immediatamente applicando la (17):
mentre l’equazione dell’asse di simmetria si ottiene dalla (14):
Infine la parabola volge la concavità verso il basso essendo negativo il coefficiente del termine quadratico (\(a=-1<0\)).
ESERCIZIO 3
Determinare l’equazione della parabola di vertice \(V(2,-2)\) e direttrice di equazione \(y=-1\).
SOLUZIONE
Tenendo conto delle formule per il calcolo delle coordinate del vertice (12), (13) e della direttrice (17) si perviene al seguente sistema di equazioni:
Procediamo quindi alla risoluzione del sistema:
sostituendo la terza alla prima, quest’ultima diventa:
Adesso, noto il valore di \(a\), possiamo ricavare immediatamente \(b\) dalla seconda equazione:
A questo punto notiamo che possiamo ricavare il valore di \(\Delta\) dalla terza:
e, tenendo conto che \(\Delta=b^2-4ac\), invertendo si ottiene:
da cui
Per determinare l’equazione della parabola sarà a questo punto sufficiente sostituire i valori di \(a,b\) e \(c\) trovati all’equazione (5) ottenendo così:
che riportiamo nella Fig.4.
ESERCIZIO 4
Determinare le intersezioni tra le seguenti parabole e gli assi cartesiani.
a) \(y=x^2-6x+5\)
b) \(y=-x^2+9\)
c) \(y=x^2+4\)
SOLUZIONE
a)
Ricordando che l’asse x ha equazione \(y=0\) le intersezioni con tale asse si ottengono risolvendo il sistema:
da cui
che risolta fornisce:
I punti di intersezione con l’asse delle ascisse hanno pertanto coordinate
Per trovare le intersezioni con l’asse delle ordinate (\(x=0\)) basterà invece risolvere il sistema:
da cui, sostituendo la prima alla seconda, si ricava immediatamente:
e pertanto il punto in questione è rappresentato da
b)
Procedendo analogamente al caso dell’esercizio a) si ottiene:
da cui
che risolta fornisce
L’intersezione con l’asse y si ottiene invece ponendo \(x=0\) all’equazione della parabola, da cui si ricava immediatamente \(y=9\).
c)
Notiamo che il sistema
fornisce
che non ammette soluzione nel campo dei numeri reali, quindi non esistono intersezioni con l’asse delle ascisse.
L’intersezione con l’asse y si può ottenere al solito ponendo \(x=0\) nell’equazione della parabola, pervenendo alla soluzione \(y=4\).
ESERCIZIO 5
Determinare i punti di intersezione tra la retta di equazione \(y=\frac{x}{2}+1\) e la parabola di equazione \(y=-x^2+3x+4\).
SOLUZIONE
L’esercizio può essere risolto effettuando il sistema tra le due equazioni:
Eliminando la \(y\) dal sistema si ottiene:
quindi semplificando e risolvendo rispetto ad \(x\):
Calcoliamo adesso le ordinate dei punti di intersezione come segue:
ESERCIZIO 6
Discutere la concavità della parabola di equazione \(y=k^2x^2-3x^2+kx\) al variare del parametro \(k\).
SOLUZIONE
Dalla teoria sappiamo che la concavità di una parabola dipende esclusivamente dal coefficiente del termine di secondo grado \(a\). Pertanto, alla luce di ciò, conviene raccogliere il termine quadratico riscrivendo l’equazione nel seguente modo:
A questo punto possiamo studiare il segno del coefficiente del termine quadratico imponendo per esempio che questo sia maggiore di zero. In formule risulterà pertanto:
la cui soluzione è:
che rappresenta l’intervallo dei valori di \(k\) per cui la parabola è rivolta verso l’alto.
La parabola sarà invece rivolta verso il basso per \(k^2-3<0\), ovverosia per:
Notiamo infine che per \(k=\pm\sqrt{3}\) risulta \(k^2-3=0\), e pertanto la parabola degenera nelle rette di equazione \(y=\pm \sqrt{3}x\).
Nella figura che segue viene mostrato il comportamento della parabola \(y=(k^2-3)x^2+kx\) al variare di \(k\) in maniera dinamica mettendo in risalto la concavità.
Errori comuni sulla parabola ad asse verticale
Nello studio della parabola ad asse verticale ricorrono alcuni errori tipici, dovuti perlopiù a difetti di attenzione nell'applicazione delle formule o a confusione con il caso della parabola canonica. Di seguito i più frequenti.
Confondere la forma generale con la forma canonica. L'equazione \(y=ax^2\) (parabola canonica) è un caso particolare dell'equazione generale \(y=ax^2+bx+c\), valido solo quando \(b=c=0\), ovvero quando il vertice coincide con l'origine. Applicare le formule della parabola canonica (vertice nell'origine, fuoco in \(\left(0,\frac{1}{4a}\right)\), direttrice \(y=-\frac{1}{4a}\)) a una parabola con \(b\neq0\) o \(c\neq0\) porta a risultati errati.
Errore di segno nel calcolo dell'ascissa del vertice. La formula \(x_0=-\frac{b}{2a}\) richiede particolare attenzione quando \(b\) è negativo: il segno meno della formula, combinato con il segno di \(b\), può generare errori di calcolo. Ad esempio, per \(b=-4\) e \(a=2\) si ha \(x_0=-\frac{-4}{4}=1\), non \(x_0=-1\).
Errore di segno nel calcolo del discriminante. Nel calcolo di \(\Delta=b^2-4ac\), quando \(a\) o \(c\) sono negativi il prodotto \(4ac\) cambia segno e il termine \(-4ac\) può risultare positivo anziché negativo. È buona norma calcolare separatamente \(b^2\) e \(4ac\) prima di sottrarre, evitando semplificazioni mentali che possono introdurre errori di segno.
Scambiare le formule di fuoco e direttrice. Le ordinate di fuoco e direttrice, \(y_F=\frac{1-\Delta}{4a}\) e \(y=-\frac{1+\Delta}{4a}\), differiscono solo per il segno del termine al numeratore e sono facilmente confuse. Un controllo utile consiste nel verificare che fuoco e direttrice siano equidistanti dal vertice, a distanza \(\frac{1}{4|a|}\), e situati su lati opposti rispetto ad esso lungo l'asse di simmetria.
Dimenticare la condizione \(a\neq0\). Se il coefficiente del termine quadratico si annulla — situazione che può presentarsi quando \(a\) dipende da un parametro, come nell'Esercizio 6 — l'equazione \(y=ax^2+bx+c\) degenera in una retta e cessa di rappresentare una parabola. In tali casi le formule di vertice, fuoco e direttrice perdono di significato e vanno scartate.
Errore nell'equazione dell'asse di simmetria. L'asse di simmetria di una parabola ad asse verticale è la retta verticale \(x=-\frac{b}{2a}\), non una retta orizzontale. Scrivere l'equazione nella forma \(y=\dots\) anziché \(x=\dots\) è un errore concettuale, non di calcolo, dal momento che l'asse di simmetria è parallelo, appunto, all'asse \(y\).
Conclusioni
In questo articolo abbiamo esteso lo studio della parabola canonica al caso generale di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, rimuovendo l'ipotesi che il vertice coincida con l'origine del sistema di riferimento.
Attraverso una traslazione degli assi cartesiani abbiamo mostrato che ogni equazione della forma \(y=ax^2+bx+c\), con \(a\neq0\), rappresenta una parabola ad asse verticale, e abbiamo ricavato le formule che ne caratterizzano gli elementi principali:
- vertice \(V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\);
- asse di simmetria \(x=-\frac{b}{2a}\);
- fuoco \(F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\);
- direttrice \(y=-\frac{1+\Delta}{4a}\).
Abbiamo inoltre osservato come il segno del coefficiente \(a\) determini la concavità della parabola, e come il caso limite \(a=0\) corrisponda alla degenerazione della curva in una retta.
Gli esercizi svolti hanno applicato queste formule al calcolo di vertice, fuoco, direttrice e concavità, alla determinazione dell'equazione di una parabola a partire da elementi noti, al calcolo delle intersezioni con gli assi cartesiani e con una retta, e alla discussione della concavità al variare di un parametro.
Le formule qui ricavate costituiscono la base per lo studio di argomenti successivi legati alla parabola, quali la posizione reciproca tra retta e parabola, la retta tangente e la determinazione dell'equazione a partire da condizioni geometriche assegnate.
TEST FINALE
Metti alla prova la comprensione degli argomenti trattati in questo articolo. Il test è composto da 10 domande a risposta multipla sulla parabola con asse parallelo all'asse y: equazione generale, vertice, asse di simmetria, fuoco e direttrice.