La determinazione dell’equazione di una parabola passante per tre punti assegnati costituisce uno dei problemi classici e fondamentali della geometria analitica. Dal punto di vista geometrico, così come per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza, allo stesso modo tre punti non allineati nel piano cartesiano possono identificare univocamente una parabola con asse parallelo a uno degli assi coordinati.
In questo articolo, in particolare, vedremo come determinare l’equazione di una parabola ad asse verticale passante per tre punti effettuando lo studio del metodo algebrico standard basato sulla risoluzione di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite ottenuto a partire dall’applicazione della condizione di appartenenza dei punti all’equazione della parabola.
Oltre alla procedura generale esamineremo poi alcuni tra i casi particolari ed una serie di esercizi svolti utili a comprendere l’applicazione pratica della teoria.
Impostazione del problema della parabola passante per tre punti
Per determinare l’equazione di una parabola con asse parallelo all’asse \(y\) a partire dalla conoscenza di tre punti noti nel piano non allineati tra loro e tali che non vi siano due punti con la stessa ascissa, è necessario imporre tre condizioni (equazioni) indipendenti. Ciò risulta vero in quanto l’equazione generale della parabola ad asse verticale contiene tre parametri incogniti (\(a, b, c\)). Conseguentemente, la determinazione di tali valori o parametri è direttamente ricondotta alla risoluzione di un sistema il cui numero di incognite (\(a,b,c\)) coincide con il numero di equazioni (una per ciascuna condizione di passaggio per punto noto).
Siano quindi noti nel piano i punti \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) e \(C(x_3,y_3)\) e si voglia determinare l’equazione della parabola ad asse verticale:
che li contenga tutti.
Avremo banalmente che l’equazione (1) dovrà essere soddisfatta per ciascuno dei punti noti e pertanto dovranno valere le seguenti equazioni:
I coefficienti della (1) potranno a questo punto ricavarsi dalla risoluzione del sistema lineare di tali tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovverosia:
fornendo così la soluzione al problema.
N.B. Osserviamo che la forma canonica della parabola \(y = ax^2\), utile quando il vertice coincide con l’origine, non è in questo caso impiegabile: essa ha infatti un solo parametro libero, quindi può soddisfare al massimo una condizione di passaggio scelta arbitrariamente, non tre.
Procedura risolutiva
- Sostituire le coordinate di ciascun punto nell’equazione generale \(y = ax^2+bx+c\), ottenendo tre equazioni.
- Risolvere il sistema nelle incognite \(a\), \(b\), \(c\), per sostituzione o per riduzione.
- Scrivere l’equazione della parabola con i coefficienti trovati.
- Verificare (eventualmente) il risultato ottenuto sostituendo i tre punti nell’equazione finale.
Esempio 1 — caso generale
Determinare l’equazione della parabola passante per \(A(1,0)\), \(B(2,4)\), \(C(-1,-2)\).
SOLUZIONE
I tre punti dati devono verificare singolarmente l’equazione della parabola essendo tutti appartenenti ad essa. Pertanto, sostituendo uno per volta le coordinate dei tre punti nella generica equazione della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\), risulterà:
- passaggio per \(A(1,0)\):
- passaggio per \(B(2,4)\):
- passaggio per \(C(-1,-2)\):
Ciascuna delle tre equazioni rappresenta una condizione analitica da soddisfare e, dovendo essere tutte e tre contemporaneamente soddisfatte, la soluzione può determinarsi risolvendo il sistema delle tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovvero:
Per risolvere il sistema possiamo, per esempio, esplicitare \(c\) dalla prima equazione e sostituire alla seconda e alla terza ottenendo:
per poi ricavare dalla terza equazione il valore di \(b\) come segue:
ed ancora dalla seconda equazione:
Infine dalla prima equazione si ricava:
Sostituendo i valori dei coefficienti \(a,b\) e \(c\) alla generica equazione della parabola ad asse verticale otteniamo infine:
che rappresenta l’equazione della parabola passante per i punti dati (Fig.1).
Esempio 2 — caso generale
Determinare l’equazione della parabola passante per \(A(1,2)\), \(B(-3,1)\), \(C(-1,6)\).
SOLUZIONE
Analogamente a quanto già visto nel primo esercizio, i tre punti ancora una volta devono verificare singolarmente l’equazione della parabola. Sostituendo uno per volta le coordinate dei tre punti nell’equazione della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\), risulterà:
- passaggio per \(A(1,2)\):
- passaggio per \(B(-3,1)\):
- passaggio per \(C(-1,6)\):
Ciascuna delle tre equazioni rappresenta una condizione analitica e, dovendo essere tutte e tre contemporaneamente soddisfatte, la soluzione può determinarsi risolvendo il sistema delle tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovvero:
Per risolvere il sistema possiamo ancora una volta esplicitare \(c\) dalla prima equazione e sostituire alla seconda e alla terza ottenendo:
per poi ricavare dalla terza equazione il valore di \(b\) come segue:
ed ancora dalla seconda equazione:
Infine dalla prima equazione si ricava:
Sostituendo i valori dei coefficienti \(a,b\) e \(c\) alla generica equazione della parabola ad asse verticale otteniamo infine:
che rappresenta l’equazione della parabola passante per i punti dati (Fig.2).
Esempio 3 — un punto con ascissa nulla
Determinare l’equazione della parabola passante per \(A(0,5)\), \(B(1,6)\), \(C(-1,8)\).
SOLUZIONE
Imponendo il passaggio della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\) per i tre punti dati, risulterà:
- passaggio per \(A(0,5)\):
- passaggio per \(B(1,6)\):
- passaggio per \(C(-1,8)\):
da cui il sistema delle tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovvero:
Notiamo che le equazioni ottenute non sono tutte accoppiate tra loro in quanto dalla prima di esse si ricava direttamente il valore di \(c\) (che rappresenta l’ordinata della parabola in corrispondenza del suo punto di ascissa nulla).
Il sistema ottenuto, dopo aver sostituito il valore di \(c=5\) alla seconda ed alla terza equazione, si riduce pertanto a:
da cui:
ed ancora dalla prima equazione:
Sostituendo i valori dei coefficienti \(a,b\) e \(c\) alla generica equazione della parabola ad asse verticale si ottiene infine:
che rappresenta l’equazione della parabola passante per i punti dati (Fig.3).
Esempio 4 — un punto coincidente con l’origine
Determinare l’equazione della parabola passante per \(O(0,0)\), \(Z(-2,2)\), \(T(2,-4)\).
SOLUZIONE
Imponendo il passaggio della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\) per i tre punti dati, risulterà:
- passaggio per \(O(0,0)\):
- passaggio per \(Z(-2,2)\):
- passaggio per \(T(2,-4)\):
da cui il sistema delle tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovvero:
da cui si ricava:
Sostituendo i valori di \(a,b\) e \(c\) all’equazione della parabola ad asse verticale otteniamo:
Caso particolare — due punti con la stessa ascissa
Determinare l’equazione della parabola passante per \(P(2,3)\), \(Q(2,7)\), \(R(0,1)\).
SOLUZIONE
In questo caso osserviamo che i punti \(P\) e \(Q\) hanno la medesima ascissa. Se proviamo adesso ad imporre il passaggio della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\) per tali punti, risulterà:
- passaggio per \(P(2,3)\):
- passaggio per \(Q(2,7)\):
Se provassimo adesso a sottrarre membro a membro le due equazioni perverremmo all’assurdo:
Conseguentemente il sistema generato dalle condizioni di passaggio per i punti noti risulta, in questo caso particolare, impossibile. Non è pertanto possibile determinare alcuna equazione del tipo \(y=ax^2+bx+c\) che soddisfa le condizioni date.
Caso particolare — tre punti allineati
Determinare l’equazione della parabola passante per \(A(0,1)\), \(B(1,3)\), \(C(2,5)\).
SOLUZIONE
Imponendo il passaggio della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\) per i tre punti dati, risulterà:
- passaggio per \(A(0,1)\):
- passaggio per \(B(1,3)\):
- passaggio per \(C(2,5)\):
da cui il sistema delle tre equazioni nelle incognite \(a,b\) e \(c\), ovvero:
da cui semplificando e quindi eliminando \(c\) dalle ultime due:
che risolto fornisce:
Sostituendo i valori di \(a,b\) e \(c\) all’equazione della parabola ad asse verticale otteniamo:
che è l’equazione di una retta.
In questo caso non esiste alcuna parabola passante per i tre punti poiché essi risultano allineati tra loro (Fig.5). Tuttavia possiamo notare che il metodo non restituisce alcun risultato assurdo, ma semplicemente il caso in cui la parabola si riduce ad una retta (\(a=0\)).
Errori comuni
Ecco di seguito una breve panoramica di quelli che possono rappresentare alcuni tra i più comuni degli errori quando si affrontano gli esercizi e i problemi relativi alla determinazione della parabola con asse verticale passante per tre punti noti.
- Partire dalla forma canonica. Impostare il sistema con \(y=ax^2\) invece di \(y=ax^2+bx+c\) lascia solo un parametro libero: il sistema risulta sovradeterminato o richiede di ignorare due delle tre condizioni.
- Errori di segno nella riduzione. Sottrarre equazioni con coordinate negative (ascisse o ordinate) è il punto in cui più frequentemente si perde un segno; conviene riscrivere ogni equazione esplicitando i segni prima di sottrarre.
- Omettere la verifica finale. Una buona prassi da seguire per cercare di ridurre al minimo la possibilità di errore è quella di effettuare la verifica del sistema, ovvero assicurarsi che la sostituzione dei parametri \(a,b\) e \(c\) soddisfi tutte le equazioni del sistema.
- Non riconoscere un sistema impossibile o altri casi particolari. Interpretare \(-4=0\) come un errore di calcolo da “correggere” invece che come un’informazione sui punti dati (stessa ascissa, ordinate diverse); allo stesso modo, non identificare \(a=0\) come riduzione ad una retta, ma trattarlo come un risultato anomalo da scartare.
Conclusioni
Il metodo per determinare l’equazione della parabola passante per tre punti è essenzialmente sempre lo stesso: si tratta infatti di un sistema lineare risolto con la stessa sequenza di passaggi. Tuttavia la sua applicazione richiede attenzione ai casi in cui il sistema non restituisce una parabola: punti con la stessa ascissa, che rendono il sistema impossibile, e punti allineati, che consentono però di trovare l’equazione della retta che li contiene. Riconoscere questi due esiti fa parte della padronanza del metodo tanto quanto saperlo applicare al caso generale.
Con questo strumento è possibile affrontare anche i problemi in cui la parabola è definita da condizioni miste, per esempio un punto di passaggio insieme a vertice o asse assegnati che richiedono di combinare questo sistema con le proprietà geometriche viste negli altri articoli dedicati allo studio della parabola.
TEST FINALE
Metti alla prova la comprensione degli argomenti trattati in questo articolo. Il test è composto da 10 domande a risposta multipla sulla parabola passante per tre punti.