In geometria analitica durante lo studio della parabola capita a volte di trovarsi ad affrontare un caso particolare: la parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle \(x\) nota anche come parabola ad asse orizzontale.
In questo articolo introdurremo dapprima una parte teorica del caso di parabola ad asse orizzontale partendo dal caso di parabola ad asse verticale, dopodiché studieremo alcuni utili esempi svolti passo passo.
Derivazione dell’equazione della parabola ad asse orizzontale
Se nella generica equazione della parabola ad asse verticale \(y=ax^2+bx+c\) si scambia la \(x\) con la \(y\) si ottiene:
Ciò premesso, osserviamo che la sostituzione
è relativa alla simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante e pertanto possiamo concludere che l’equazione (1) rappresenta una parabola simmetrica della parabola ad asse verticale rispetto a tale bisettrice, costituendo pertanto una parabola ad asse orizzontale ovvero parallelo all’asse delle ascisse (Fig.1).
Formule relative alla parabola ad asse orizzontale
Le caratteristiche relative alla parabola ad asse orizzontale non necessitano di essere ricavate nuovamente (come già fatto per il caso di parabola ad asse verticale). Tale esercizio sarebbe infatti superfluo in quanto partendo dal caso di parabola ad asse verticale si possono ricavare allo stesso modo le analoghe caratteristiche per il caso di parabola ad asse orizzontale semplicemente invertendo i valori di \(x\) ed \(y\) come di seguito riepilogati.
| Descrizione | Formula/Condizione |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(y=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| direttrice | \(x=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso destra | \(a>0\) |
| concavità verso sinistra | \(a<0\) |
OSSERVAZIONI: rispetto al caso della parabola ad asse verticale questa volta la direttrice è una retta verticale, mentre l’asse di simmetria è orizzontale.
Vale la pena osservare che la concavità di una parabola ad asse orizzontale sarà rivolta verso destra o verso sinistra a seconda del valore del coefficiente quadratico \(a\).
Esempio 1
Data la parabola di equazione \(x=y^2+4y-3\), determinare vertice, fuoco, asse di simmetria e direttrice.
SOLUZIONE
La soluzione in questo caso è immediata. Basta considerare che la parabola ad asse orizzontale ha in questo caso i seguenti coefficienti:
e pertanto risulterà:
da cui il calcolo delle coordinate del fuoco:
Per il calcolo del vertice utilizziamo la formula:
Calcoliamo a questo punto l’asse di simmetria come:
ed infine la direttrice:
Si nota che essendo \(a>0\) la parabola volge la concavità verso destra.
Esempio 2
Determinare l’equazione della parabola ad asse orizzontale passante per l’origine ed avente vertice nel punto di coordinate \((5,-3)\).
SOLUZIONE
L’equazione della parabola ad asse orizzontale passante per l’origine si ricava immediatamente dalla (1) ponendo \(c=0\), pertanto essa si riduce a:
Risolvere il problema consiste essenzialmente nel determinare i coefficienti \(a,b\).
Utilizzando le formule di calcolo del vertice dovrà risultare:
e quindi il seguente sistema di equazioni:
la cui soluzione consente di determinare i coefficienti incogniti.
Tenendo a questo punto in considerazione il fatto che in questo caso particolare \(c=0\), il sistema precedente si semplifica in:
che risolviamo procedendo a fare il rapporto membro a membro delle equazioni:
da cui si ricava immediatamente dopo aver semplificato:
e quindi, utilizzando per esempio la seconda equazione:
L’equazione finale della parabola si scrive quindi come:
Esempio 3
Determinare l’equazione della parabola ad asse orizzontale passante per l’origine ed avente il fuoco nel punto di coordinate \((3,4)\).
SOLUZIONE
Come già visto per il caso precedente, l’equazione della parabola ad asse orizzontale passante per l’origine si scrive:
Imponendo le condizioni sulle coordinate del fuoco dovrà aversi:
da cui segue il sistema di equazioni:
la cui soluzione consente di determinare i coefficienti incogniti.
Tenendo conto del fatto che anche in questo caso particolare risulta \(c=0\), il sistema precedente si semplifica in:
da cui
Sostituendo la seconda equazione alla prima si ottiene:
da cui le soluzioni:
quindi
a cui corrispondono rispettivamente i valori di \(b\) così calcolati:
Le equazioni delle parabole ricercate sono quindi:
e
N.B. A differenza dell’esempio precedente (imposizione del vertice), questa volta la condizione sul fuoco determina non una bensì due parabole, una con concavità verso destra e vertice \(V_1\) a sinistra del fuoco, l’altra con concavità verso sinistra e vertice \(V_2\) a destra del fuoco in comune (si veda Fig.4).
Errori comuni
Di seguito alcuni degli errori che gli studenti fanno nell’affrontare il caso della parabola ad asse orizzontale.
- Uno degli errori più comuni è quello di scambiare le variabili \(x\) ed \(y\) e quindi riscrivere erroneamente nel testo l’equazione nella forma \(y=ax^2+bx+c\) che rappresenta invece il caso di parabola ad asse verticale.
- Utilizzare impropriamente le formule per il calcolo di vertice, fuoco, direttrice ed asse scambiando di posizione le coordinate. Probabilmente questo errore deriva dalla maggiore dimestichezza negli esercizi con la parabola ad asse verticale, caso decisamente più utilizzato e comune in matematica.
- Altri casi sono riconducibili a semplici errori di calcolo, come dimenticarsi di cambiare un segno oppure bloccarsi nella risoluzione di un sistema di equazioni, spesso necessario quando si impongono condizioni come il passaggio per un punto o l’imposizione del fuoco.
- A volte gli studenti non ricordano bene l’associazione tra la concavità della parabola ad asse orizzontale ed il parametro quadratico \(a\) invertendo la concavità e disegnando male la parabola.
Conclusioni
La parabola ad asse orizzontale non richiede necessariamente una trattazione teorica autonoma: le sue proprietà (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice e verso della concavità) si ottengono direttamente a partire da quelle della parabola ad asse verticale scambiando le variabili \(x\) e \(y\), in virtù della simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Anche il fatto che una concavità verso l’alto o verso il basso diventi una concavità verso destra o verso sinistra non è un’eccezione, ma una sua diretta conseguenza: ribaltando gli assi, ciò che prima era orientato verticalmente lo è ora orizzontalmente.
Gli esempi svolti hanno mostrato sia il problema diretto (come ricavare le caratteristiche geometriche a partire dall’equazione) sia il problema inverso (determinare l’equazione a partire da condizioni su vertice o fuoco), evidenziando in particolare come l’imposizione del fuoco, a differenza di quella del vertice, ammetta due soluzioni distinte.
TEST FINALE
Di seguito un breve test di verifica delle conoscenze su quanto appreso sulla parabola ad asse orizzontale.