esercizi svolti circonferenza

Esercizi svolti sulla circonferenza (spiegati passo passo)

di

La circonferenza è uno degli argomenti più importanti della geometria analitica. In questa raccolta trovi esercizi sulla circonferenza svolti e spiegati passo passo, con procedimenti chiari e soluzioni dettagliate.

Gli esercizi proposti riguardano le principali tipologie: equazione della circonferenza, centro e raggio, appartenenza di un punto, posizione reciproca tra retta e circonferenza, tangenti, corde e problemi geometrici nel piano cartesiano.

Ogni esercizio è risolto in modo graduale, evidenziando i passaggi fondamentali e i metodi più utilizzati. La raccolta può essere utile sia per ripassare la teoria sia per allenarsi nella risoluzione degli esercizi sulla circonferenza.

ESERCIZIO 1 — Calcolare centro e raggio dalla forma canonica

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza di equazione

\[x^2+y^2+6x-1=0\]

SOLUZIONE

Dalla teoria sulla circonferenza sappiamo che l’equazione data è scritta in forma canonica

\[x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0\]

con

\[\alpha=6\] \[\beta=0\] \[\gamma=-1\]

pertanto le coordinate del centro \(C(x_0,y_0)\) valgono

\[x_0=-\frac{\alpha}{2}=-\frac{6}{2}=-3\] \[y_0=-\frac{\beta}{2}=0\]

Per il calcolo del raggio è noto che questo può calcolarsi come

\[r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-\gamma}=\sqrt{(-3)^2+1}=\sqrt{10}\]

ESERCIZIO 2 — Determinare centro e raggio con coefficienti frazionari

Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza di equazione

\[5x^2+5y^2-6x-10y-3=0\]

SOLUZIONE

La prima operazione da svolgere è quella di riportare l’equazione in forma normale dividendo per 5:

\[x^2+y^2-\frac{6}{5}x-2y-\frac{3}{5}=0\]

Notiamo che i coefficienti dell’equazione valgono

\[\alpha=-\frac{6}{5}\] \[\beta=-2\] \[\gamma=-\frac{3}{5}\]

e quindi le coordinate del centro \(C(x_0,y_0)\) e raggio \(r\) valgono rispettivamente:

\[C(x_0,y_0)=C(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2})=(\frac{3}{5},1)\]
\[r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-\gamma}=\sqrt{\frac{9}{25}+1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{7}{5}\]

ESERCIZIO 3 — Equazione della circonferenza noti centro e raggio

Scrivere l’equazione canonica della circonferenza di centro \((-2,-5)\) e raggio 3.

SOLUZIONE

In questo caso risulta conveniente utilizzare l’equazione della circonferenza nella forma

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]

ove \(x_0,y_0\) rappresentano le coordinate del centro ed \(r\) il raggio.

Sostituendo i valori numerici si ottiene

\[(x+2)^2+(y+5)^2=3^2\]

che rappresenta l’equazione delle circonferenza richiesta. Tuttavia, tale ultima equazione non rappresenta la forma canonica (o normale) della circonferenza, la quale può essere ottenuta a partire dal risultato ottenuto sviluppando i quadrati e riordinando nella forma:

\[x^2+4+4x+y^2+25+10y-9=0\]

quindi semplificando

\[x^2+y^2+4x+10y+20=0\]

ESERCIZIO 4 — Equazione della circonferenza noto il centro e passante per l’origine

Scrivere l’equazione della circonferenza di centro \(C(2,3)\) e passante per l’origine.

SOLUZIONE

Osserviamo che risultando note le coordinate del centro \(C\) è possibile calcolare immediatamente i coefficienti \(\alpha\) e \(\beta\) della generica circonferenza in forma normale, tenendo contro che sussistono le relazioni:

\[x_0=-\frac{\alpha}{2}\] \[y_0=-\frac{\beta}{2}\]

da cui si ricava

\[\alpha=-2x_0\] \[\beta=-2y_0\]

essendo \(x_0\) ed \(y_0\) le coordinate del centro \(C\).

Sostituendo i valori numerici si ottiene quindi:

\[\alpha=-2x_0=-2 \cdot 2=-4\] \[\beta=-2y_0=-2 \cdot 3= -6\]

Notiamo infine che per una circonferenza passante per l’origine dovrà aversi

\[\gamma=0\]

infatti dovendo la circonferenza passare per l’origine, l’equazione \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0\) dovrà essere soddisfatta nel punto di coordinate \(O(0,0)\), in formule dovrà quindi risultare:

\[0^2+0^2+\alpha \cdot 0+\beta \cdot 0 +\gamma=0\]

che fornisce la soluzione \(\gamma=0\).

L’equazione richiesta potrà quindi scriversi nella forma canonica

\[x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0\]

per cui, sostituendo i valori di \(\alpha\), \(\beta\) e \(\gamma\) risulterà

\[x^2+y^2-4 x-6 y=0\]

ESERCIZIO 5 — Intersezioni con gli assi e con una retta di equazione nota

Determinare le coordinate dei punti di intersezione della circonferenza \(x^2+y^2-2x+3y-2=0\)

  1. con l’asse \(x\);
  2. con l’asse \(y\);
  3. con la retta \(y=-x-1\).

SOLUZIONE

1. Gli eventuali punti di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ascisse (che ricordiamo ha equazione \(y=0\)) si ottengono risolvendo il seguente sistema:

\[\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-2x+3y-2=0\\y=0\end{matrix}\right.\]

Sostituendo la seconda equazione nella prima si ha:

\[x^2-2x-2=0\]

Calcoliamo il discriminante

\[\Delta=4+8=12\]

quindi le soluzioni

\[x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}\]

I punti di intersezione con l’asse \(x\) possono quindi scriversi come

\[A(1+\sqrt{3},0) \quad B(1-\sqrt{3},0)\]

2. Gli eventuali punti di intersezione tra la circonferenza e l’asse delle ordinate (equazione \(x=0\)) si ottengono risolvendo il sistema:

\[\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-2x+3y-2=0\\x=0\end{matrix}\right.\]

da cui si ottiene, dopo aver sostituito la seconda alla prima:

\[y^2+3y-2=0\]

che risolta fornisce

\[y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}\]

I punti di intersezione con l’asse \(y\) possono quindi scriversi come

\[C(0,\frac{-3+\sqrt{17}}{2}) \quad D(0,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})\]

3. Gli eventuali punti di intersezione tra la circonferenza e la retta di equazione \(y=-x-1\) si ottengono risolvendo il sistema:

\[\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-2x+3y-2=0\\y=-x-1\end{matrix}\right.\]

Sostituendo la seconda nella prima si ottiene

\[x^2+(-x-1)^2-2x+3(-x-1)-2=0\]

che semplificata diventa

\[2x^2-3x-4=0\]

le cui soluzioni sono

\[x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}\]

quindi sostituendo all’equazione della retta possiamo ricavare le rispettive ordinate dei punti di intersezione come:

\[y_1=-\frac{3+\sqrt{41}}{4}-1\] \[y_2=-\frac{3-\sqrt{41}}{4}-1\]

I punti di intersezione sono quindi esprimibili come

\[E(\frac{3+\sqrt{41}}{4},-\frac{3+\sqrt{41}}{4}-1) \quad F(\frac{3-\sqrt{41}}{4},-\frac{3-\sqrt{41}}{4}-1)\]
ESERCIZIO svolto circonferenza — Intersezioni con gli assi e con una retta
Fig.1 – La figura mostra i punti di intersezione tra la circonferenza e gli assi coordinati oltre alle intersezioni con la retta di equazione \(y=-x-1\).

ESERCIZIO 6 — Circonferenza passante per tre punti

Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti \(A(2,0), B(3,2), C(-1,-1)\).

SOLUZIONE

Dati tre punti nel piano non allineati, per questi passa una e una sola circonferenza.

Affinché la generica circonferenza di equazione \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) passi per i punti assegnati è necessario che tale equazione venga soddisfatta in corrispondenza dei singoli punti \(A,B,C\).

Dovrà pertanto risultare che

\[A \rightarrow 2^2+2\alpha+\gamma=0\] \[B \rightarrow 3^2+2^2+3\alpha+2\beta+\gamma=0\] \[C \rightarrow (-1)^2+(-1)^2-\alpha-\beta+\gamma=0\]

In altre parole dovrà risolversi il sistema

\[\begin{cases} 2\alpha+\gamma+4=0 \\ 3\alpha+2\beta+\gamma+13=0 \\ -\alpha-\beta+\gamma+2=0 \end{cases}​\]

dal quale, ricavando \(\gamma\) dalla prima risulta che

\[\gamma=-2\alpha-4\]

che sostituita alla seconda e alla terza equazione fornisce

\[\begin{cases} 3\alpha+2\beta-2\alpha-4+13=0 \\ -\alpha-\beta-2\alpha-4+2=0 \end{cases}​\]
\[\begin{cases} \alpha+2\beta+9=0 \\ -3\alpha-\beta-2=0 \end{cases}​\]

adesso moltiplichiamo la seconda equazione dell’ultimo sistema per 2 ottenendo

\[\begin{cases} \alpha+2\beta+9=0 \\ -6\alpha-2\beta-4=0 \end{cases}​\]

quindi sommiamo algebricamente membro a membro, da cui risulta

\[-5\alpha+5=0\] \[5\alpha=5\] \[\alpha=1\]

soluzione che sostituita ad una delle due equazioni del sistema (per esempio alla seconda) fornisce

\[\beta=-3\alpha-2=-3(1)-2=-5\]

e quindi ancora utilizzando la prima delle tre equazioni si ricava

\[\gamma=-2\alpha-4=-2(1)-4=-6\]

Sostituendo infine i valori dei coefficienti \(\alpha,\beta,\gamma\) trovati attraverso la risoluzione del sistema all’equazione della circonferenza in forma canonica si ottiene

\[x^2+y^2+x-5y-6=0\]

che rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti \(A,B,C\) assegnati, nonché la soluzione al problema posto.

ESERCIZIO svolto circonferenza passante per tre punti
Fig.2 – La circonferenza passa per tutti e tre i punti \(A,B\) e \(C\).

Per approfondire ulteriormente l’argomento relativo alla procedura di calcolo di una circonferenza passante per tre punti con lo studio del metodo analitico ed ulteriori esempi svolti si consiglia di consultare l’articolo dedicato “Circonferenza passante per tre punti: metodo analitico con esempi passo passo“.

ESERCIZIO 7 — Posizione reciproca tra retta e circonferenza

Stabilire se la retta \(2x+3y-1=0\) è secante, tangente o esterna alla circonferenza di equazione \(3x^2+3y^2-6x+\frac{8}{3}y-1=0\).

SOLUZIONE

Uno dei metodi per determinare la posizione reciproca tra retta e circonferenza consiste nel confrontare la distanza tra il centro \(C\) e la retta con il raggio della circonferenza.

In questo caso notiamo preliminarmente che la circonferenza deve essere dapprima riportata nella forma

\[x^2+y^2+\alpha x+\beta y +\gamma=0\]

quindi dividendo per 3 l’equazione assegnata si ottiene

\[x^2+y^2-2x+\frac{8}{9}y-\frac{1}{3}=0\]

Calcoliamo il centro \(C(x_0,y_0)\) ed il raggio \(r\) come

\[C(x_0,y_0)=C(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2})=(1,-\frac{4}{9})\]
\[r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-\gamma}=\sqrt{1+\frac{16}{81}+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{31}}{9}\]

quindi la distanza tra il centro \(C\) e la retta:

\[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

dove \(a,b\) e \(c\) sono i coefficienti delle retta ordinata in forma implicita:

\[a=2\] \[b=3\] \[c=-1\]

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

\[d=\frac{|2\cdot1+3\cdot(-\frac{4}{3})-1|}{\sqrt{4+9}}=\frac{1}{3\sqrt{13}}\]

Dai risultati ottenuti osserviamo che

\[\frac{2\sqrt{31}}{9}>\frac{1}{3\sqrt{13}}\]

il che equivale a dire che

\[r>d\]

e pertanto la retta risulta secante la circonferenza in due punti distinti.

Fig.3 – Dalla figura si nota che la distanza tra il centro \(C\) dalla retta è minore del raggio della circonferenza.

ESERCIZIO 8 — Rette tangenti ad una circonferenza da un punto esterno

Dopo aver determinato le coordinate del centro ed il raggio della circonferenza di equazione

\[x^2+y^2-4x-2y+1=0\]

scrivere le equazioni delle rette tangenti ad essa e passanti per l’origine.

SOLUZIONE

Per risolvere l’esercizio notiamo preliminarmente che l’equazione della circonferenza è già scritta in forma normale, per cui le coordinate del centro \(C\) risultano pari a

\[x_0=-\frac{\alpha}{2}=-\frac{-4}{2}=2\] \[y_0=-\frac{\beta}{2}=-\frac{-2}{2}=1\]

mentre il raggio può essere calcolato come

\[r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-\gamma}=\sqrt{2^2+1^2-1}=2\]

Per determinare le tangenti alla circonferenza è utile ricordare che la condizione analitica di tangenza retta-circonferenza è esprimibile mediante la condizione

\[\Delta=0\]

applicata all’equazione risolvente il sistema formato tra la circonferenza e la generica retta di coefficiente angolare \(m\) passante (in questo caso) per l’origine. In formule si ha quindi:

\[\begin{cases} x^2+y^2-4x-2y+1=0 \\ y=mx \end{cases}​\]

Per risolvere tale sistema possiamo per esempio sostituire la seconda alla prima ottenendo così

\[x^2+(mx)^2-4x-2(mx)+1=0\]

che riordinata in \(x\) diventa

\[(1+m^2)x^2-2(2+m)x+1=0\]

A questo punto calcoliamo il discriminante dell’equazione ottenuta imponendo la condizione di tangenza anzi detta \(\Delta=0\) e risolviamo rispetto al valore di \(m\) incognito:

\[\Delta=0 \Rightarrow 4(2+m)^2-4(1+m^2)=0\]

che semplificata diventa

\[4+m^2+4m-1-m^2=0\] \[4m=-3\] \[m=-\frac{3}{4}\]
ESERCIZIO svolto circonferenza — Rette tangenti da un punto esterno
Fig.4 – Le rette passanti per l’origine tangenti alla circonferenza \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\) hanno equazioni \(x=0\) e \(y=-\frac{3}{4}x\).

Attenzione: la semplificazione del termine quadratico al terzultimo passaggio per il calcolo di \(m\) determina implicitamente che l’equazione si riduca al primo grado determinando una sola soluzione analitica (in questo caso \(m=-3/4\)). Tuttavia notiamo (si veda Fig.4) che le rette tangenti alla circonferenza data sono due:

l’equazione

\[y=-\frac{3}{4}x\]

e la retta coincidente con l’asse delle ordinate di equazione

\[x=0\]

Tuttavia, quest’ultima retta (che rappresenta a tutti gli effetti una delle due tangenti) non può validamente essere calcolata in maniera analitica in quanto il coefficiente angolare \(m\), per una retta verticale, non risulta definito.

Per assicurarsi che la retta \(x=0\) risulti effettivamente tangente alla circonferenza basterà accertare che la distanza tra tale retta dal centro \(C\) della circonferenza risulti uguale al raggio.

Utilizzando la formula per il calcolo della distanza centro-retta si ha:

\[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

con

\[a=1, \quad b=c=0\]

i coefficienti della retta \(x=0\). Sostituendo i valori numerici si ottiene

\[d=|ax_0|=1(2)=2\]

Dal momento che tale distanza coincide con il raggio della circonferenza concludiamo che la retta \(x=0\) è certamente tangente ad essa.

ESERCIZIO 9 — Retta tangente in un punto appartenente alla circonferenza

Dopo aver verificato che il punto \(P(x_P,y_P)=(2,-4)\) appartiene alla circonferenza \(x^2+y^2-10x=0\), determinare l’equazione della retta tangente in tale punto.

SOLUZIONE

Per verificare che il punto \(P\) appartiene alla conica è sufficiente verificare che la sua equazione sia soddisfatta in tale punto. Scriveremo pertanto

\[2^2+(-4)^2-10(2)=0\]

che risulta vera e pertanto \(P\) appartiene alla circonferenza data.

Sappiamo inoltre dalla teoria che la retta tangente ad una circonferenza in un punto \(P\) è ortogonale al raggio \(r\) condotto tra i punti \(CP\).

Calcolando a questo punto il coefficiente angolare \(m\) della retta passante per \(CP\) dovrà aversi:

\[m=\frac{y_P-y_C}{x_P-x_C}=\frac{-4-0}{2-5}=\frac{4}{3}\]

da cui il coefficiente angolare della retta ortogonale:

\[m_\perp=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{4/3}=-\frac{3}{4}\]

Per scrivere l’equazione della retta tangente in \(P\) utilizziamo la forma punto-pendenza della retta:

\[y-y_P=m_\perp (x-x_P)\]

la cui sostituzione dei valori fornisce la retta tangente ricercata:

\[y+4=-\frac{3}{4} (x-2)\]
ESERCIZI svolti sulla circonferenza: Tangente in un punto della circonferenza
Fig.5 – La retta di equazione \(y+4=-\frac{3}{4} (x-2)\) è tangente la circonferenza nel punto \(P(2-4)\). La retta è perpendicolare al raggio \(CP\).

ESERCIZIO 10 — Lunghezza della corda staccata da una retta

Determinare la lunghezza della corda staccata dalla retta \(x+y+1=0\) sulla circonferenza di centro \((0,1)\) e raggio 2.

SOLUZIONE

Cominciamo con il determinare l’equazione della circonferenza noto che sia il suo centro ed il raggio

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]

Sostituendo i valori numerici si ottiene

\[x^2+(y-1)^2=2^2\]

la quale può anche essere riscritta in maniera del tutto equivalente, dopo aver sviluppato i quadrati, come

\[x^2+y^2-2y-3=0\]

Disegniamo a questo punto sia la circonferenza che la retta (Fig.6).

ESERCIZIO svolto circonferenza — Lunghezza della corda staccata da una retta
Fig.6 – La circonferenza e la retta si intersecano in due punti distinti \(A\) e \(B\). La misura della corda richiesta è rappresentata dalla lunghezza del segmento \(\overline{AB}\).

Dall’osservazione della Fig.6 si evince che il problema richiede la misura del segmento \(\overline{AB}\), ovvero la corda staccata dalla retta sulla circonferenza.

Tale problema può essere agevolmente risolto calcolando prima le coordinate dei punti di intersezione tra retta e circonferenza e successivamente calcolando la distanza tra i punti \(A\) e \(B\).

Procediamo quindi con la risoluzione del seguente sistema:

\[\begin{cases} x^2+y^2-2y-3=0 \\ x+y+1=0 \end{cases}​\]

a questo punto sostituiamo la seconda equazione nella prima dopo aver esplicitato la \(y\) come segue

\[\begin{cases} x^2+(-x-1)^2-2(-x-1)-3=0 \\ y=-x-1 \end{cases}​\]

Sviluppando adesso i quadrati della prima equazione nell’ultimo sistema e semplificando si ha

\[x^2+2x=0\]

da cui

\[x(x+2)=0\]

le cui soluzioni sono

\[x_1=-2\] \[x_2=0\]

a cui corrispondono le ordinate (ricavabili immediatamente dall’equazione della retta)

\[y_1=y(x_1)=y(-2)=-(-2)-1=1\] \[y_2=y(x_2)=y(0)=-1\]

Le coordinate dei punti \(A\) e \(B\) valgono pertanto

\[A(x_1,y_1)=A(-2,1)\] \[B(x_2,y_2)=A(0,-1)\]

Infine possiamo procede al calcolo della distanza tra i punti \(A\) e \(B\) con la nota formula:

\[\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(0+2)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{2}\]

che rappresenta la lunghezza della corda ricercata.

ESERCIZIO 11 — Intersezioni tra due circonferenze e asse radicale

Date le circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) di equazione

\[\Gamma_1: \quad x^2+y^2-6 x+4 y-12=0\] \[\Gamma_2: \quad x^2+y^2-2 x+8 y-20=0\]

determinare gli eventuali punti di intersezione. Si determini inoltre l’asse radicale.

SOLUZIONE

In questo caso risulta conveniente sottrarre membro a membro le due equazioni da cui risulta:

\[x^2+y^2-6 x+4 y-12-(x^2+y^2-2 x+8 y-20=0)=0\]

che semplificata si riduce a

\[-4x+12y+8=0\]

quindi dividendo ancora ambo i membri per -4

\[x-3y-2=0\]

che rappresenta l’asse radicale delle circonferenze.

Per determinare i punti di intersezione possiamo procedere intersecando l’asse radicale trovato con una delle due circonferenze, per esempio \(\Gamma1\) ottenendo così il sistema:

\[\begin{cases} x^2+y^2-6 x+4 y-12=0 \\ x-3y-2=0 \end{cases}​\]

che può essere risolto, per esempio, esplicitando la \(x\) dalla seconda equazione e sostituendola nella prima come segue:

\[\begin{cases} (3y+2)^2+y^2-6 (3y+2)+4 y-12=0 \\ x=3y+2 \end{cases}​\]

A questo punto, semplificando la prima delle due otteniamo

\[9y^2+12y+4+y^2−18y−12+4y−12=0\] \[10y^2-2y-20=0\]

dividiamo per 2

\[5y^2-y-10=0\]

che risolta fornisce

\[\Delta=(-1)^2-4(5)(-10)=201\] \[y_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{201}}{10}\]

Ora calcoliamo \(x\):

\[x_1=3y_1+2=3 \frac{1+\sqrt{201}}{10}+2=\frac{23+3\sqrt{201}}{10}\] \[x_2=3y_2+2=3 \frac{1-\sqrt{201}}{10}+2=\frac{23-3\sqrt{201}}{10}\]

I punti di intersezione richiesti risultano pertanto

\[A=\left(\frac{23+3\sqrt{201}}{10},\frac{1+\sqrt{201}}{10}\right)\]
\[B=\left(\frac{23-3\sqrt{201}}{10},\frac{1-\sqrt{201}}{10}\right)\]
ESERCIZI svolti circonferenza: Intersezione tra due circonferenze e asse radicale
Fig.7 – Le circonferenze \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) sono secanti nei punti \(A,B\). Per tali punti passa l’asse radicale di equazione \(x-3y-2=0\).

Per ulteriori esempi svolti o per approfondire la parte teorica sulla reciproca posizione tra due circonferenze con lo studio dei casi possibili, calcolo della tangente comune, punti di intersezione ed ulteriori casi coinvolgenti differenti posizioni dell’asse radicale, si consiglia di consultare l’articolo dedicato – Posizione reciproca tra due circonferenze: casi possibili con esempi svolti.

ESERCIZIO 12 — Retta secante, tangente o esterna al variare di un parametro

Determinare per quali valori di \(k\) la retta \(x+2y+k=0\) è secante, tangente o esterna alla circonferenza \(x^2+y^2+6x+4y-3=0\).

SOLUZIONE

Consideriamo il sistema formato dalla circonferenza e dalla retta:

\[\begin{cases} x^2+y^2+6 x+4 y-3=0 \\ x+2y+k=0 \end{cases}​\]

e si vuole stabilire per quali valori di \(k\) la retta è

  • secante;
  • tangente;
  • esterna.

Dalla retta ricaviamo

\[x=-2y-k\]

quindi sostituiamo nella circonferenza ottenendo

\[(−2y−k)^2+y^2+6(−2y−k)+4y−3=0\]

Adesso se sviluppiamo i quadrati e riordiniamo rispetto ad \(y\) si ottiene

\[5y^2+(4k-8)y+k^2-6k-3=0\]

che è un’equazione di secondo grado in \(y\).

Per determinare se la retta risulta tangente, secante o esterna alla circonferenza è necessario a questo punto effettuare lo studio del discriminante dell’ultima equazione. In particolare potranno aversi i seguenti casi:

  • due soluzioni reali → retta secante;
  • una soluzione reale doppia → retta tangente;
  • nessuna soluzione reale → retta esterna.

Calcoliamo il discriminante:

\[\Delta=b^2-4ac\]

con

\[a=5,\qquad b=4k-8,\qquad c=k^2-6k-3\]

Quindi:

\[\Delta=(4k-8)^2-20(k^2-6k-3)\] \[\Delta=16k^2-64k+64-20k^2+120k+60\] \[\Delta=-4k^2+56k+124\]

Raccogliendo −4:

\[\Delta=-4(k^2-14k-31)\]

Condizione di tangenza

La retta è tangente quando:

\[\Delta=0\]

cioè:

\[k^2-14k-31=0\]

che risolta fornisce

\[k=\frac{14\pm\sqrt{320}}{2}=7\pm4\sqrt{5}\]

Retta secante

\[\Delta>0\] \[-4(k^2-14k-31)>0\] \[k^2-14k-31<0\]

la cui soluzione è

\[7-4\sqrt5<k<7+4\sqrt5\]

Retta esterna

\[\Delta<0\] \[k^2-14k-31>0\]
\[k<7-4\sqrt5 \quad \text{oppure} \quad k>7+4\sqrt5\]

Di seguito mostriamo il grafico interattivo per la visualizzazione dinamica delle soluzioni al variare del parametro \(k\).

k = 0.00
Muovi il cursore per variare k oppure usa i pulsanti per le condizioni di tangenza.

ESERCIZIO 13 — Problema sulla circonferenza con retta parametrica e condizione sulla corda

Data la circonferenza di equazione \((x-4)^2+(y-2)^2=9\), determinare i valori del parametro \(k\) in modo tale che la retta di equazione \(y=kx\) stacchi sulla circonferenza una corda di lunghezza pari al raggio.

SOLUZIONE

Calcoliamo dapprima il centro \(C(x_0,y_0)\) della circonferenza:

\[x_0=-\frac{\alpha}{2}=4\] \[y_0=-\frac{\beta}{2}=2\]

e il raggio

\[r=\sqrt{x_0^2+y_0^2-\gamma}=\sqrt{4^2+2^2-11}=3\]

tenendo conto che l'equazione della circonferenza, dopo aver sviluppato i quadrati e riordinato si può scrivere in forma canonica come

\[x^2+y^2-8x-4y+11=0\]

con

\[\alpha=-8\] \[\beta=-4\] \[\gamma=+11\]

Per ottenere la soluzione dobbiamo dapprima procedere all'intersezione tra retta e circonferenza risolvendo il sistema:

\[\begin{cases} x^2+y^2-8x-4y+11=0 \\ y=kx \end{cases}​\]

Procediamo quindi a sostituire la seconda equazione nella prima ottenendo:

\[x^2+k^2x^2-8x-4kx+11=0\]

e riordiniamo rispetto a \(x\)

\[(1+k^2)x^2-4(k+2)x+11=0\]

Adesso calcoliamo il discriminante dell'ultima equazione:

\[\Delta=16(k+2)^2-44(1+k^2)\]

che semplificata ulteriormente dopo aver sviluppato i quadrati diventa

\[\Delta=-28k^2+64k+20\]

A questo punto calcoliamo le ascisse dei punti di intersezione tra retta e circonferenza come

\[x_{A,B}=\frac{4(k+2)\pm \sqrt{\Delta}}{2(1+k^2)}\]

quindi le ordinate dei punti di intersezione \(y_A\) e \(y_B\) le quali possono ricavarsi direttamente attraverso l'equazione della retta \(y=kx\) dovendo tali punti appartenere anche ad essa. Potremo pertanto scrivere:

\[y_A=kx_A\] \[y_B=kx_B\]

Imponiamo adesso la condizione richiesta dal problema cioè

\[|\overline{AB}|=r\]

quindi ancora, utilizzando la formula per il calcolo della distanza tra due punti nel piano:

\[\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=r\]

Elevando al quadrato ambo i membri dell'ultima equazione ed esprimendo \(y_A\) e \(y_B\) in sola funzione di \(x\) otteniamo:

\[(x_B-x_A)^2+(kx_B-kx_A)^2=r^2\]

quindi semplifichiamo come segue:

\[(x_B-x_A)^2+k^2(x_B-x_A)^2=r^2\] \[(1+k^2)(x_B-x_A)^2=r^2\]

quindi eliminiamo anche \(x_A\) e \(x_B\) effettuando le dovute sostituzioni:

\[(1+k^2)\left(\frac{4(k+2)-\sqrt{\Delta}}{2(1+k^2)}-\frac{4(k+2)+ \sqrt{\Delta}}{2(1+k^2)}\right)^2=r^2\]

che semplificata diventa

\[\frac{(1+k^2)}{4(1+k^2)^2}(-2 \sqrt{\Delta})^2=r^2\]

quindi semplifichiamo ulteriormente come

\[\frac{\Delta}{1+k^2}=r^2\]

quindi moltiplicando ambo i membri per \(1+m^2\) ottenendo

\[\Delta=(1+k^2)r^2\]

A questo punto se sostituiamo all'ultima equazione i valori di \(\Delta=-28k^2+64k+20\) ed \(r=3\), questa diventa:

\[-28k^2+64k+20=(1+k^2)\cdot 3^2\]

che semplificata fornisce

\[37k^2-64k-11=0\]

che risolta (esercizio che lasciamo al lettore) fornisce i valori

\[k_{1,2}=\frac{32\pm \sqrt{1431}}{37}\]
ESERCIZIO parametrico svolto sulla circonferenza con corda di lunghezza assegnata al variare del coefficiente angolare
Fig.8 - La retta \(y=kx\) interseca la circonferenza nei punti \(A,B,C,D\) in modo tale che la distanza \(|\overline{AB}|=|\overline{CD}|=r=3\) per \(k=k_{1,2}\).

TEST DI VERIFICA

Hai studiato le principali tipologie di esercizi sulla circonferenza: lettura dei parametri dalla forma canonica, determinazione di centro e raggio, intersezioni con gli assi e con rette, posizione reciproca tra retta e circonferenza, tangenti e asse radicale. Verifica adesso la tua comprensione con le domande seguenti — per ciascuna risposta riceverai un feedback immediato con la spiegazione.

Metti alla prova la tua comprensione
10 domande · Esercizi sulla circonferenza
Domanda 1 di 10
Data la circonferenza \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\), le coordinate del centro \(C(x_0,y_0)\) valgono:
Domanda 2 di 10
Data la circonferenza \(x^2+y^2+6x-1=0\), il raggio vale:
Domanda 3 di 10
Una circonferenza \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) passa per l'origine se e solo se:
Domanda 4 di 10
Per determinare le intersezioni di una circonferenza con l'asse delle ascisse si risolve il sistema imponendo:
Domanda 5 di 10
Dati tre punti non allineati nel piano, per essi passa:
Domanda 6 di 10
La lunghezza della corda staccata dalla retta \(x+y+1=0\) sulla circonferenza di centro \((0,1)\) e raggio \(2\) vale:
Domanda 7 di 10
La retta \(y=mx+q\) è tangente alla circonferenza quando, sostituita nell'equazione della stessa, l'equazione risolvente ha:
Domanda 8 di 10
Una retta è esterna a una circonferenza di raggio \(r\) e centro \(C\) se la distanza \(d\) tra \(C\) e la retta soddisfa:
Domanda 9 di 10
L'asse radicale di due circonferenze si ottiene:
Domanda 10 di 10
La retta tangente a una circonferenza in un punto \(P\) è:
risposte corrette su 10

Prosegui lo studio

100% Sicuro