In questo articolo ci occuperemo dello studio della posizione reciproca tra retta e parabola.
Una retta ed una parabola nel piano cartesiano possono trovarsi in particolari posizioni tali per cui la retta può risultare tangente, secante oppure esterna ad una data parabola.
L’obiettivo di questo articolo è quello di fornire un’impostazione analitica al problema sia per il caso di parabola ad asse verticale che per quello di parabola ad asse orizzontale. Inoltre, dopo una breve (ma importante) introduzione teorica vedremo come al solito diversi esempi svolti in modo da fissare bene i concetti.
Come studiare la posizione reciproca tra retta e parabola
Posizione reciproca retta-parabola ad asse verticale
Lo studio della posizione reciproca tra retta e parabola ad asse verticale può essere ricondotto alla risoluzione del seguente sistema di secondo grado:
dove
è l’equazione di una generica parabola ad asse verticale, mentre:
rappresenta una generica retta non verticale.
In particolare, se il sistema (1) ammette due soluzioni reali e distinte, la retta risulta secante alla parabola in due punti distinti; se il sistema ammette due soluzioni reali coincidenti la retta è tangente alla parabola in un punto; se il sistema non ammette soluzioni reali la retta è esterna alla parabola.
CASO PARTICOLARE: RETTA VERTICALE
Nel caso di retta verticale il sistema (1) può riscriversi come:
da cui si ricava direttamente l’ordinata del punto di ascissa \(x=k\):
La (3) fornisce sempre un solo valore di \(y\) e pertanto in questo caso la retta interseca la parabola in un solo punto.
Posizione reciproca retta-parabola ad asse orizzontale
In analogia al caso precedente, lo studio della posizione reciproca tra retta e parabola ad asse orizzontale può essere ricondotto alla risoluzione del seguente sistema di secondo grado:
dove
è l’equazione di una generica parabola ad asse orizzontale, mentre
rappresenta una generica retta non verticale e non orizzontale.
Se il sistema (4) ammette due soluzioni reali e distinte, la retta risulta secante alla parabola in due punti distinti; se il sistema ammette due soluzioni reali coincidenti la retta è tangente alla parabola in un punto; se il sistema non ammette soluzioni reali la retta è esterna alla parabola.
N.B. Nel caso di retta verticale il sistema (4) non può essere utilizzato ma deve riscriversi come:
da cui si ricava l’equazione:
che può ammettere distinte, coincidenti o nessuna soluzione reale in \(y\) a seconda del valore del relativo discriminante.
CASO PARTICOLARE: RETTA ORIZZONTALE (\(m=0\))
Nel caso di retta orizzontale e parabola ad asse orizzontale il sistema da risolvere è:
e quindi l’ascissa del punto di intersezione in tal caso vale:
Esempio 1 – Retta secante la parabola
Determinare la posizione reciproca tra la parabola di equazione \(y=x^2-2\) e la retta di equazione \(y=-x+5\). Determinare inoltre gli eventuali punti di intersezione.
SOLUZIONE
Mettendo a sistema parabola e retta si ottiene:
da cui, sostituendo la seconda alla prima:
Risolvendo l’equazione di secondo grado ottenuta si ha:
Le due soluzioni distinte ottenute rappresentano le ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola e pertanto la retta risulta secante la parabola.
Calcoliamo adesso le ordinate dei punti di intersezione utilizzando l’equazione della retta:
N.B. Precisiamo che le ordinate dei punti di intersezione potevano calcolarsi anche utilizzando l’equazione della parabola (appartenendo tali punti ad essa), tuttavia si preferisce usare sempre l’equazione più semplice possibile (in questo caso della retta).
Esempio 2 – Retta tangente alla parabola
Determinare la posizione reciproca tra la retta di equazione \(2x-3y+16=0\) e la parabola \(y=-\frac{1}{3}x^2-2x\).
SOLUZIONE
Dal sistema tra parabola e retta si ottiene:
da cui, sostituendo la seconda alla prima:
Risolvendo l’equazione di secondo grado ottenuta si ha:
Le due soluzioni sono coincidenti, quindi la retta è tangente alla parabola nel punto di ascissa \(x=-4\).
Calcoliamo infine l’ordinata del punto di intersezione utilizzando l’equazione della retta esplicitandola rispetto ad \(y\):
Il punto di tangenza \(P\) ha coordinate:
Esempio 3 – Retta esterna alla parabola
Determinare la posizione reciproca tra la retta di equazione \(2x+5y-60=0\) e la parabola \(y=-\frac{1}{4}x^2+3x-2\).
SOLUZIONE
Dal sistema tra parabola e retta si ottiene:
da cui, sostituendo la seconda alla prima:
Se calcoliamo il delta dell’ultima equazione si ha:
Concludiamo quindi che non esistono intersezioni reali tra retta e parabola, conseguentemente la retta è esterna ad essa.
Esempio 4 – Retta verticale
Determinare la posizione reciproca tra la retta di equazione \(x-3=0\) e la parabola \(y=\frac{1}{8}x^2-2x-3\).
SOLUZIONE
Mettendo a sistema le equazioni di parabola e retta si ottiene:
da cui, sostituendo la seconda alla prima:
Il punto di intersezione \(P\) ha coordinate:
Esempio 5 – Problema parametrico con parabola ad asse orizzontale (interattivo)
Determinare per quali valori del parametro \(k\) la retta di equazione \(y=x+k\) è secante, tangente o esterna alla parabola ad asse orizzontale di equazione \(x=\frac{1}{2}y^2-3y\).
SOLUZIONE
Dal sistema tra retta e parabola si ha:
da cui, sostituendo la seconda equazione nella prima:
che semplificata diventa:
quindi semplificando ulteriormente ed ordinando rispetto ad \(x\):
A partire dall’ultima equazione risolvente potranno aversi diversi casi a seconda del valore del discriminante, in particolare:
- \(\Delta>0\) – retta secante
- \(\Delta=0\) – retta tangente in un punto
- \(\Delta<0\) – retta esterna
Procediamo così al calcolo del \(\Delta\) nell’equazione risolvente:
Imponendo adesso la condizione di retta secante (\(\Delta>0\)) avremo:
La retta risulterà invece tangente in un solo punto per \(\Delta=0\) ovvero per:
Infine, per
risulterà \(\Delta<0\) e pertanto non avremo alcuna intersezione tra retta e parabola.
Esplorazione interattiva: retta e parabola ad asse orizzontale
Parabola fissa x = ½y² − 3y. Trascina lo slider per variare k nella retta y = x + k e osserva come cambia la posizione reciproca.
Errori comuni nello studio della posizione reciproca tra retta e parabola
Quando si studia la posizione reciproca tra una retta e una parabola è facile commettere alcuni errori. Ecco i più frequenti.
1. Dimenticare di portare il sistema a un’equazione di secondo grado
Per stabilire se la retta è secante, tangente o esterna bisogna sostituire l’equazione della retta in quella della parabola ottenendo un’unica equazione di secondo grado. Un errore frequente consiste nel confrontare direttamente le due equazioni senza eseguire la sostituzione.
2. Calcolare in modo errato il discriminante
Dopo aver ottenuto l’equazione di secondo grado è necessario calcolare correttamente il discriminante. Errori di segno nello sviluppo dei calcoli possono portare a classificare in modo errato la posizione della retta.
3. Invertire le condizioni sul discriminante
Ricorda che se:
- \(\Delta>0\): la retta è secante (due punti di intersezione);
- \(\Delta=0\): la retta è tangente (un solo punto di contatto);
- \(\Delta<0\): la retta è esterna (nessun punto di intersezione reale).
Molti studenti spesso si confondono proprio in questo punto.
4. Utilizzare la forma sbagliata della parabola
Le parabole possono avere asse verticale oppure asse orizzontale ed è quindi opportuno utilizzare la forma della parabola corretta. Un errore comune è per esempio quello di scrivere l'equazione \(y=ax^2+bx+c\) riferendosi alla parabola orizzontale mentre questa equazione è valida unicamente per il caso di parabola ad asse verticale.
5. Credere che una retta tangente "tocchi" sempre la parabola nel vertice
Una retta tangente può "toccare" la parabola in qualsiasi suo punto, non necessariamente nel vertice. Il vertice è soltanto uno dei possibili punti di tangenza!
6. Dimenticare di determinare il punto di tangenza o le intersezioni (anche se non sempre è necessario)
Quando il discriminante è nullo si è dimostrato che la retta è tangente, ma spesso l’esercizio richiede anche le coordinate del punto di tangenza.
In questo caso per determinarlo basta sostituire la radice doppia nell’equazione della retta oppure della parabola e ricavare le coordinate del punto.
Allo stesso modo si procede sostituendo le radici singole in caso di retta secante così da determinare le coordinate dei punti di intersezione.
Conclusioni
Lo studio della posizione reciproca tra una retta e una parabola rappresenta un’importante applicazione della geometria analitica e permette di collegare il significato geometrico delle intersezioni o della tangenza con quello algebrico delle equazioni di secondo grado.
L’idea di base consiste nel mettere a sistema l’equazione della retta con quella della parabola e analizzare il numero di soluzioni reali dell’equazione ottenuta:
- due soluzioni reali e distinte indicano che la retta è secante la parabola;
- una soluzione reale doppia indica che la retta è tangente;
- nessuna soluzione reale indica che la retta è esterna.
Abbiamo inoltre visto come l’impostazione del problema cambi a seconda che la parabola abbia asse verticale oppure asse orizzontale e come sia necessario prestare attenzione ai casi particolari delle rette verticali e orizzontali.
In particolare, il discriminante dell’equazione di secondo grado ottenuta dal sistema costituisce lo strumento principale per classificare la posizione reciproca tra retta e parabola, trasformando un problema geometrico in una semplice analisi algebrica.
La padronanza di questo metodo permette non solo di risolvere gli esercizi standard ma consente anche di affrontare problemi parametrici più complessi nei quali è spesso richiesto di determinare per quali valori di un parametro una retta risulta secante, tangente oppure esterna alla parabola (come discusso nell'esempio 5).
TEST DI VERIFICA
Di seguito proponiamo un piccolo test di verifica delle conoscenze acquisite relativamente alla posizione reciproca tra retta e parabola.