L’equazione della parabola in forma canonica rappresenta uno degli argomenti fondamentali della geometria analitica. Comprendere come riconoscere vertice, asse di simmetria, concavità, fuoco e direttrice di una parabola permette di studiare in modo completo questa importante conica e di interpretarne correttamente il grafico nel piano cartesiano.
In questa guida analizzeremo passo passo la struttura dell’equazione canonica della parabola e mostreremo come poterne individuare gli elementi geometrici fondamentali direttamente dall’equazione. Vedremo inoltre esempi svolti e spiegati in modo chiaro, utili per acquisire sicurezza nello studio della parabola e nella risoluzione degli esercizi.
La parabola come luogo geometrico
La parabola è definita come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso \(F\) detto fuoco e da una retta \(d\) detta direttrice.
Derivazione dell’equazione canonica della parabola \(y=ax^2\)
Con riferimento alla Fig.1, consideriamo un generico punto \(P(x,y)\) in modo tale che esso sia equidistante dal punto \(F\) fisso (fuoco) posizionato sull’asse delle ordinate \(y\) ad una distanza \(m\) rispetto all’asse \(x\) e dalla retta \(d\) (direttrice) posizionata simmetricamente al fuoco \(F\) rispetto all’asse \(x\).
Alla luce di quanto esposto dovrà pertanto valere la seguente relazione:
Tendendo a questo punto conto del fatto che la distanza tra i punti \(P\) ed \(F\) è esprimibile mediante la nota formula della distanza tra due punti nel piano, si avrà:
mentre la distanza tra il punto \(P\) e la direttrice \(d\) è esprimibile come:
Sostituendo le (2) e (3) nella (1) si ottiene:
da cui ancora, elevando ambo i membri al quadrato:
quindi sviluppando e semplificando:
da cui
Se adesso poniamo:
si ottiene
La (5), nota anche come equazione canonica (o normale) della parabola rappresenta una parabola con vertice nell’origine ed asse di simmetria coincidente con l’asse \(y\).
Vertice e asse di simmetria della parabola in forma canonica
Notiamo che la (5) è una funzione simmetrica rispetto all’asse delle \(y\) verificando la condizione di simmetria:
Si ha infatti:
e pertanto l’asse \(y\) costituisce asse di simmetria della (5).
Il vertice \(V\) della parabola canonica (5) rappresenta il punto della parabola preso sull’asse di simmetria in modo tale che esso sia equidistante tra il fuoco e la direttrice: esso coincide con l’origine \(O\).
Fuoco e direttrice della parabola in forma canonica
Possiamo adesso calcolare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice della (5). Se si osserva infatti la Fig.1, tenendo conto della (4), dovrà risultare che il fuoco \(F\) della parabola (canonica) ha coordinate:
mentre la direttrice (che in questo caso è sempre una retta orizzontale) avrà equazione:
risultando dalla (4) \(m=1/(4a)\) con \(a \neq 0\).
Costruzione per punti della parabola \(y=ax^2\)
A questo punto costruiamo la parabola \(y=ax^2\) scegliendo tre differenti valori di \(a\). In particolare scegliamo i valori di \(a=1/4\), \(a=1\) e \(a=2\) e calcoliamo i valori della funzione per alcuni valori di \(x\) come mostrato nella tabella a seguire:
| \(x=-3\) | \(x=-2\) | \(x=-1\) | \(x=0\) | \(x=1\) | \(x=2\) | \(x=3\) | |
| \(a=1/4\) | 9/4 | 1 | 1/4 | 0 | 1/4 | 1 | 9/4 |
| \(a=1\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| \(a=2\) | 18 | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | 18 |
Di seguito (Fig.2) mostriamo il grafico delle tre parabole al variare di \(a\).
Notiamo dalla Fig.2 che le curve sono simmetriche rispetto all’asse delle ordinate e che al diminuire del parametro \(a\) la parabola si “allarga” e viceversa. Il vertice \(V\) delle parabole in questo caso coincide sempre con l’origine degli assi \(O\).
Notiamo che se adesso scegliamo valori di \(a\) opposti a quelli precedenti (\(a=-1/4\), \(a=-1\), \(a=-2\)) si ottengono delle funzioni del tipo
concludendo che quando il parametro \(a\) si sceglie di valore opposto, la parabola risulta simmetrica rispetto all’asse delle ascisse (come mostrato in Fig.3)
Nella figura che segue mostriamo invece il comportamento della parabola \(y=ax^2\) al variare di \(a\) in maniera dinamica mettendone in risalto la concavità.
In particolare possiamo notare che per:
- \(a>0\) la parabola volge la concavità verso l'alto;
- \(a<0\) la parabola volge la concavità verso il basso;
- \(a=0\) la parabola degenera nella retta di equazione \(y=0\) rappresentando così l'asse \(x\).
N.B. In sostanza l'equazione \(y=ax^2\) rappresenta una famiglia di parabole al variare di \(a\).
Riepilogo delle proprietà
| Proprietà | Espressione |
|---|---|
| Equazione canonica | \(y = ax^2 \quad (a \neq 0)\) |
| Vertice | \(V(0,\ 0)\) |
| Asse di simmetria | \(x = 0\) (asse \(y\)) |
| Fuoco | \(\displaystyle F\!\left(0,\ \frac{1}{4a}\right)\) |
| Direttrice | \(\displaystyle y = -\frac{1}{4a}\) |
| Concavità verso l'alto | \(a > 0\) |
| Concavità verso il basso | \(a < 0\) |
| Caso degenere | \(a = 0\) — retta \(y = 0\) |
Esercizi svolti sulla parabola in forma canonica (o normale)
ESERCIZIO 1
Disegnare la parabola di equazione
SOLUZIONE
Si tratta di una parabola con concavità verso l'alto poiché \(a=3>0\) contenuta integralmente nel 1° e 2° quadrante del piano cartesiano ed avente vertice \(V\) coincidente con l'origine degli assi.
La costruzione può ottenersi per punti come riportato nella tabella a seguire:
| \(x\) | \(y\) |
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
| 3 | 27 |
| 4 | 48 |
| 5 | 75 |
Sappiamo inoltre che la funzione è simmetrica rispetto all'asse \(y\) pertanto per ciascun valore assunto dalla funzione in corrispondenza di \(x\) si otterrà l'identico valore in corrispondenza di \(-x\). A seguire (Fig.4) l'illustrazione del grafico della funzione:
ESERCIZIO 2
Determinare il fuoco e la direttrice della parabola di equazione
SOLUZIONE
Il coefficiente del termine quadratico vale \(a=-5\), per cui, utilizzando le (6) e (7) si ha:
ESERCIZIO 3
Scrivere l'equazione del luogo dei punti equidistanti dalla retta \(y=1\) e dal punto \(F(0,-1)\).
SOLUZIONE
Utilizzando le equazioni (2) e (3) si ha:
e quindi ancora applicando la (1):
Adesso eleviamo al quadrato entrambi i membri e semplifichiamo:
Quest'ultima rappresenta l'equazione del luogo dei punti ricercato, ovverosia una parabola ad asse verticale con vertice nell'origine e concavità verso il basso.
ESERCIZIO 4
Determinare le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola di equazione \(y=4x^2\) e la retta di equazione \(y=5\) tracciandone anche il grafico.
SOLUZIONE
Il problema può essere ricondotto alla risoluzione del sistema formato tra parabola e la retta ovvero:
da cui
ESERCIZIO 5
Determinare le ascisse dei punti di intersezione tra la parabola di equazione \(y=-2x^2\) e la retta di equazione \(y=-x-2\) tracciandone anche il grafico.
SOLUZIONE
Il problema può essere ricondotto nuovamente alla risoluzione del seguente sistema formato tra parabola e retta:
Dal confronto delle due equazioni a sistema si ha:
e quindi risolvendo l'ultima equazione di secondo grado si ottiene infine:
Conclusioni
La parabola in forma canonica \(y = ax^2\) rappresenta il caso più semplice e fondamentale di questa curva: il vertice coincide con l'origine degli assi e l'asse di simmetria coincide con l'asse \(y\). Gli elementi geometrici, quali vertice, asse di simmetria, fuoco e direttrice, si ricavano direttamente dal coefficiente \(a\), che governa sia l'apertura della curva sia la sua concavità.
Padroneggiare la forma canonica è il prerequisito indispensabile per affrontare il caso generale, in cui il vertice si trova in una posizione arbitraria del piano cartesiano e l'equazione assume la forma completa \(y = ax^2 + bx + c\). È proprio da questo punto che riprende la trattazione nel prossimo articolo.
TEST FINALE
Metti alla prova la comprensione degli argomenti trattati in questo articolo. Il test è composto da 10 domande a risposta multipla sulla parabola in forma canonica: equazione, elementi geometrici fondamentali e applicazioni.