Tangente alla parabola: formule, metodo di calcolo ed esercizi svolti

La determinazione della retta tangente ad una parabola in un punto è uno dei nuclei fondamentali della geometria analitica e costituisce un passaggio importantissimo nella comprensione delle coniche.

In questo articolo, in particolare, studieremo come è possibile determinare l’equazione di una retta che sia tangente ad una parabola nota e che soddisfi allo stesso tempo una serie di condizioni come per esempio il passaggio per un punto esterno alla parabola o un punto appartenente ad essa oppure ancora soddisfi dei requisiti di inclinazione (o ulteriori vincoli).

Tangenti alla parabola da un punto esterno: metodo di calcolo

Impostazione del sistema retta-parabola

Lo studio della condizione di tangenza tra retta e parabola ad asse verticale può essere ricondotto alla risoluzione del seguente sistema di secondo grado:

dove

è l’equazione di una generica parabola ad asse verticale, mentre:

rappresenta una generica retta non verticale passante per il punto di coordinate \(P_0(x_0,y_0)\).

Condizione di tangenza e discriminante nullo

La situazione di tangenza tra parabola e retta è descritta dalla condizione analitica di discriminante nullo (\(\Delta=0\)) applicata al sistema (1), in particolare, eliminando per esempio la \(y\) da tale sistema, risulterà:

quindi raccogliendo in \(x\):

Applicando la condizione di tangenza (\(\Delta=0\)) alla (2) si ottiene:

che risolta rispetto ad \(m\) consente di determinare i coefficienti angolari delle rette tangenti, quando esistono.

Determinazione delle rette tangenti

I valori di \(m\) determinati dalla soluzione della (3) consentono di scrivere immediatamente le equazioni delle tangenti nella forma:

Esempio

Determinare le equazioni delle tangenti la parabola di equazione \(y=-\frac{1}{2}x^2+3x+2\) condotte dal punto \(P(2,8)\).

SOLUZIONE

Partendo dal sistema (1) si ha:

quindi eliminiamo la \(y\) tra le equazioni:

adesso moltiplichiamo ambo i membri per -2 e riordiniamo:

A questo punto procediamo al calcolo del discriminante dall’ultima equazione e imponiamo che sia uguale a zero (condizione di tangenza):

che semplificata fornisce:

dividendo per 4:

che risolta fornisce:

da cui

Sostituendo i valori di \(m\) trovati si ottengono infine le equazioni delle rette tangenti la parabola:

Nella Fig.1 possiamo osservare la situazione di tangenza tra le rette così ottenute e la parabola.

Nota: osserviamo che non è indispensabile calcolare i punti di tangenza retta-parabola ai fini della risoluzione dell’esercizio, tuttavia ciò sarebbe possibile risolvendo il sistema tra la parabola e le rette trovate separatamente.

Tangente alla parabola in un punto appartenente ad essa

Formula di sdoppiamento

Quando il punto assegnato appartiene alla parabola esiste un’unica retta tangente passante per quel punto e la sua equazione può essere determinata direttamente mediante la formula di sdoppiamento:

dove \(a,b\) e \(c\) sono i coefficienti della parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\) ed \(x_0\) è l’ascissa del punto di tangenza.

Applicazione della formula di sdoppiamento

Determinare l’equazione della retta tangente la parabola di equazione \(y=x^2+2x-2\) nel suo punto di ascissa \(x_0=2\).

SOLUZIONE

Essendo il punto appartenente alla parabola è possibile applicare direttamente la (4) tenendo conto che:

da cui si ottiene, dopo aver sostituito i valori alla (4) e semplificato:

che è l’equazione della retta ricercata.

Volendo inoltre determinare l’ordinata del punto di tangenza potrà scriversi:

Il grafico di Fig.2 mostra la retta tangente la parabola nel punto appartenente ad essa di ascissa \(x_0=2\).

Problemi parametrici

Problema 1

Determinare il valore del parametro \(k\) affinché la retta di equazione \(y=kx+4\) risulti tangente la parabola di equazione \(y=-\frac{1}{4}x^2\).

SOLUZIONE

Mettendo a sistema le due equazioni si ha:

da cui, eliminando la \(y\):

Imponendo la condizione di tangenza \(\Delta=0\) nell’ultima equazione si ha:

da cui

Le equazioni delle tangenti sono pertanto:

e

Problema 2 (con grafico interattivo)

Determinare il valore del parametro \(k\) affinché la parabola di equazione \(y=x^2+kx+1\) sia tangente alla retta di equazione \(y=2x\).

SOLUZIONE

A differenza dell’esempio precedente, qui il parametro \(k\) non compare nella retta ma direttamente nell’equazione della parabola. Il procedimento resta lo stesso — sistema tra le due curve e condizione di tangenza \(\Delta=0\) — ma cambia la posizione in cui il parametro va cercato all’interno del discriminante.

Impostiamo il sistema tra la parabola e la retta:

Eliminiamo la \(y\) tra le due equazioni ottenendo:

quindi riordiniamo rispetto ad \(x\):

A questo punto imponiamo la condizione di tangenza (\(\Delta=0\)) sull’ultima equazione ottenuta:

da cui

Esistono pertanto due distinti valori del parametro \(k\) che rendono la parabola tangente alla retta assegnata.

Verifica dei punti di tangenza. Sostituendo separatamente i due valori di \(k\) nella risolvente è possibile verificare che al discriminante nullo corrisponda effettivamente un’unica soluzione reale (coincidente, volta per volta, con l’ascissa del punto di tangenza).

Per \(k_1=4\):

Per \(k_2=0\):

Utilizza anche il grafico interattivo qui di seguito per comprendere la posizione reciproca tra retta e parabola al variare del parametro \(k\) utilizzando lo slider e i pulsanti.

Errori comuni

Nella determinazione della retta tangente a una parabola è facile commettere alcuni errori di impostazione o di calcolo. Di seguito sono riportati quelli più frequenti.

Confondere una retta secante con una tangente. Una retta è tangente alla parabola se il sistema formato dalle due equazioni ammette un’unica soluzione reale. Analiticamente ciò equivale a imporre la condizione di discriminante nullo (\(\Delta=0\)).

Utilizzare una formula della retta non adatta. Quando la retta deve passare per un punto assegnato è opportuno utilizzare l’equazione nella forma punto-pendenza
\[
y-y_0=m(x-x_0),
\]
poiché consente di determinare direttamente il coefficiente angolare della tangente.

Errori nello sviluppo del discriminante. La maggior parte degli errori nasce dai segni durante lo sviluppo di
\[
\Delta=(b-m)^2-4a(c+mx_0-y_0).
\]
È consigliabile sviluppare separatamente il quadrato e il prodotto, evitando passaggi troppo rapidi.

Applicare la formula di sdoppiamento quando il punto non appartiene alla parabola. La formula di sdoppiamento è valida esclusivamente quando il punto di tangenza appartiene già alla parabola. Se il punto è esterno, occorre utilizzare il metodo generale basato sul sistema e sulla condizione \(\Delta=0\).

Dimenticare di verificare i dati del problema. Prima di iniziare i calcoli è sempre opportuno controllare se il punto assegnato appartiene oppure no alla parabola, poiché da questa verifica dipende il metodo risolutivo da utilizzare.

Conclusioni

La determinazione della retta tangente a una parabola rappresenta una delle applicazioni più importanti della geometria analitica. In questo articolo abbiamo visto come affrontare il problema in due situazioni fondamentali.

Quando la tangente deve passare per un punto esterno alla parabola, il metodo generale consiste nel mettere a sistema l’equazione della parabola con quella della retta e imporre la condizione di tangenza \(\Delta=0\), ricavando così il coefficiente angolare delle rette cercate.

Quando invece il punto appartiene già alla parabola, è possibile utilizzare la formula di sdoppiamento, che consente di ottenere immediatamente l’equazione della tangente. Come mostrato nell’articolo, tale formula non è indipendente dal metodo generale, ma ne rappresenta una pratica semplificazione.

La padronanza di questi procedimenti costituisce inoltre la base per affrontare problemi più avanzati sulle coniche, come lo studio delle posizioni reciproche tra retta e parabola, i problemi parametrici e le varie applicazioni della geometria analitica.

TEST DI VERIFICA

Di seguito un breve quiz di 10 domande di verifica della comprensione sull'argomento relativo alle tangenti la parabola.