Il metodo di risoluzione grafica permette di interpretare un’equazione o una disequazione attraverso il grafico di una o più funzioni, trasformando un problema algebrico in una questione geometrica. Nel caso delle equazioni di secondo grado, questa interpretazione è particolarmente immediata: le soluzioni corrispondono infatti alle intersezioni tra una parabola e l’asse delle ascisse oppure alle intersezioni tra due generiche funzioni di secondo grado.
In questo articolo vedremo come utilizzare il metodo grafico per risolvere equazioni e disequazioni di secondo grado, analizzando il significato geometrico delle soluzioni e il ruolo del discriminante. Saranno inoltre proposti alcuni esempi in cui la rappresentazione grafica consente di individuare rapidamente le soluzioni e, in casi più articolati, di affiancare alla lettura del grafico una verifica analitica.
Risoluzione grafica di un’equazione di secondo grado
Data un’equazione di secondo grado del tipo
essa può essere interpretata in maniera del tutto equivalente come l’equazione derivante dal sistema
In sostanza risolvere l’equazione (1) equivale a trovare le eventuali intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse (\(y=0\)). Detto altrimenti risolvere la (1) equivale a trovare, se esistono, i punti di ordinata nulla della parabola di equazione \(y=ax^2+bx+c\).
Se osserviamo adesso le Figg.1 e 2, si evince chiaramente che per:
- \(\Delta>0\) la parabola interseca l’asse delle ascisse in due punti distinti \(x_1\) ed \(x_2\);
- \(\Delta=0\) la parabola è tangente l’asse delle ascisse in un solo punto \(x_1=x_2\);
- \(\Delta<0\) la parabola non ha alcuna intersezione reale con l’asse delle ascisse.
Esempio 1
Si risolva graficamente la seguente equazione di secondo grado: \(-x^2+5x-4=0\).
SOLUZIONE
L’equazione data può essere ricondotta immediatamente alla forma (2):
Conseguentemente, risolvere l’equazione assegnata consiste nel ricercare le intersezioni tra la parabola di equazione \(y=-x^2+5x-4\) e la retta che rappresenta l’asse delle ascisse (di equazione \(y=0\)).
Le intersezioni si trovano quindi risolvendo il sistema (2) come segue:
da cui
Nella figura seguente (Fig.3) riportiamo le soluzioni in forma grafica, ovverosia le intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse.
Esempio 2
Risolvere graficamente la seguente equazione:
SOLUZIONE
Osserviamo che l’equazione assegnata si può scrivere come
e quindi ancora, elevando ambo i membri al quadrato e riordinando
Attenzione: è importante notare che dovendo essere entrambi i radicali che compaiono nel sistema non negativi, è necessario imporre il vincolo \(y\geq0\) contestualmente all’elevamento al quadrato.
A questo punto possiamo notare che la prima delle equazioni che compare nell’ultimo sistema soggetta al vincolo \(y\geq0\) rappresenta la semicirconferenza superiore (quindi contenuta nel primo e secondo quadrante) centrata nell’origine di raggio unitario. Mentre la seconda delle equazioni rappresenta la porzione di una parabola ad asse orizzontale contenuta nel primo quadrante.
Vediamo di capire meglio cosa succede dal punto di vista grafico (si veda Fig.4).
Dalla Fig.4 si nota chiaramente come la soluzione dell’equazione sia una sola.
Cerchiamo adesso di determinarla analiticamente.
Possiamo notare che il sistema
può essere semplicemente riordinato come
e quindi sommando membro a membro si ha:
da cui
Osserviamo infine che dal confronto delle soluzioni ottenute con il grafico di Fig.4, l’unica soluzione accettabile è quella positiva:
Tra l’altro osserviamo che
non può essere certamente soluzione. Infatti, dal punto di vista analitico, in questo caso, dovendo essere soddisfatta l’equazione \(x=y^2\), si perverrebbe all’assurdo
non potendo risultare un quadrato negativo. Conseguentemente, \(x_2\) non è soluzione dell’equazione assegnata.
Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado
Considerata una disequazione di secondo grado nella forma
essa può essere interpretata in maniera del tutto equivalente al seguente sistema misto
In sostanza risolvere la disequazione (3), considerata la formulazione (4), equivale a trovare i punti della parabola \(y=ax^2+bx+c\) di ordinata positiva (\(y>0\)).
Se adesso osserviamo nuovamente le Figg.1 e 2, noteremo che:
per \(a>0\) la parabola volge la concavità verso l’alto (Fig.1), ed inoltre avremo i seguenti casi:
- \(\Delta>0\) la parabola è positiva per \(x<x_1 \vee x>x_2\);
- \(\Delta=0\) la parabola è tangente l’asse delle ascisse in un solo punto e quindi è sempre positiva eccetto che nel punto \(x_1=x_2\) dove invece si annulla;
- \(\Delta<0\) la parabola non ha alcuna intersezione reale con l’asse delle ascisse e risulta sempre positiva. In tal caso il sistema (4) ammette sempre soluzione per ogni \(x\).
Mentre per \(a<0\), la parabola volge la concavità verso il basso (Fig.2) e si avranno i seguenti casi:
- \(\Delta>0\) la parabola è positiva per \(x_1<x<x_2\);
- \(\Delta=0\) la parabola è tangente l’asse delle ascisse in un solo punto e quindi è sempre negativa eccetto che nel punto \(x_1=x_2\) dove invece si annulla;
- \(\Delta<0\) la parabola non ha alcuna intersezione reale con l’asse delle ascisse e risulta sempre negativa. In tal caso il sistema (4) non ammette soluzione reale.
Nota: quanto esposto vale per la ricerca delle soluzioni \(y>0\), tuttavia è possibile estendere il ragionamento anche a casistiche diverse, per esempio per la ricerca delle soluzioni tali per cui risulti \(y<0\), adattando le relative conclusioni.
Per approfondire si consiglia di consultare l’argomento relativo alle disequazioni di secondo grado ed al segno di un trinomio di secondo grado.
Esempio 1
Si risolva graficamente la disequazione di secondo grado \(x^2-3<0\).
SOLUZIONE
Si tratta in sostanza di risolvere il sistema misto di un’equazione e di una disequazione:
Osserviamo che l’equazione \(y=x^2-3\) rappresenta una parabola ad asse verticale con vertice nel punto di coordinate \((0,-3)\) e concavità rivolta verso l’alto \(a>0\) (si veda Fig.5).
Dovendo il sistema soddisfare anche l’equazione \(y<0\), l’intervallo di soluzioni sarà dato dall’intervallo dei valori di \(x\) tali che l’ordinata della parabola risulti negativa, ovverosia graficamente l’intervallo delle ascisse comprese tra i punti \(B\) ed \(A\).
Si tratta adesso di determinare il valore numerico delle ascisse di tali punti, il che è semplicissimo poiché trattasi di punti appartenenti alla parabola ad ordinata nulla e pertanto dovranno soddisfarne l’equazione per \(y=0\), ovvero:
che risolta fornisce
da cui le coordinate dei punti
La soluzione del problema è quindi
Esempio 2
Risolvere graficamente la seguente disequazione
SOLUZIONE
Notiamo che la disequazione rappresenta il sistema:
In altri termini ci si chiede qual è l’insieme dei valori di \(x\) tali per cui la parabola \(f(x)\) assume valori maggiori rispetto alla retta \(g(x)\). Questa situazione può essere riportata immediatamente in forma grafica (si veda Fig.6).
In particolare, dopo aver realizzato il grafico \(f(x)\) e \(g(x)\) separatamente, possiamo dedurre dal grafico stesso che la parabola \(f(x)\) assume valori maggiori rispetto alla funzione rappresentativa della retta \(g(x)\) a sinistra del punto \(B\) e a destra del punto \(A\) (formalmente per \(x<x_B \vee x>x_A\)).
Si tratta a questo punto di determinare le ascisse dei punti \(A\) e \(B\) risolvendo l’equazione \(f(x)=g(x)\); effettuando le dovute sostituzioni si ha:
quindi risolvendo rispetto ad \(x\) come segue, si ottiene:
da cui la soluzione della disequazione:
Esempio 3
Determinare graficamente la soluzione della disequazione
SOLUZIONE
Procediamo come di consueto a tracciare il grafico delle due funzioni separatamente per poi effettuarne il confronto.
Notiamo che la funzione \(y=\sqrt{2x-2}\) rappresenta il ramo di parabola ad asse orizzontale di vertice \(V(1,0)\) situato nel primo quadrante a partire dal vertice, mentre la funzione \(y=3\) rappresenta una retta orizzontale. Procediamo a tracciare il grafico (Fig.7) per entrambe le funzioni separatamente.
Il problema richiede che \(y=\sqrt{2x-2}\) sia minore di 3. Tale circostanza occorre solo e soltanto nell’intervallo dei valori di \(x\) compresi tra il vertice e l’ascissa del punto \(A\) (esclusa) e più rigorosamente nell’intervallo \(1\leq x<x_A\).
Volendo andare al di là del semplice aspetto grafico resta quindi da dedurre analiticamente l’ascissa di \(A\), la quale potrà essere ottenuta banalmente per intersezione della curva \(y=f(x)=\sqrt{2x-2}\) e la retta orizzontale \(y=3\), in formule:
che risolta (elevando al quadrato ambo i membri) fornisce:
Errori comuni
Nella risoluzione grafica di equazioni e disequazioni è importante prestare attenzione ad alcuni errori ricorrenti che possono portare ad individuare un insieme di soluzioni errato oppure ad interpretare in modo non corretto il grafico. Di seguito riportiamo alcuni errori comuni.
Confondere i punti di intersezione con l’insieme delle soluzioni
Nel caso di un’equazione, le soluzioni corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione tra i grafici delle funzioni considerate. Non sono quindi i punti \((x,y)\) in sé a costituire le soluzioni dell’equazione.
Ad esempio, se una parabola interseca l’asse delle ascisse nei punti \(A(x_1,0)\) e \(B(x_2,0)\), le soluzioni dell’equazione sono
\[
x=x_1
\qquad\text{e}\qquad
x=x_2.
\]
Dimenticare la distinzione tra equazioni e disequazioni
Nel caso di una disequazione, non bisogna limitarsi a considerare i punti di intersezione tra i grafici. È necessario individuare gli intervalli di valori di \(x\) nei quali una funzione è maggiore o minore dell’altra.
In particolare:
- \(f(x)>g(x)\) quando il grafico di \(f\) si trova sopra quello di \(g\);
- \(f(x)<g(x)\) quando il grafico di \(f\) si trova sotto quello di \(g\).
I punti di intersezione servono invece a individuare gli estremi degli intervalli.
Includere gli estremi quando la disequazione è stretta
Un errore frequente consiste nell’includere i punti di intersezione nelle soluzioni di una disequazione stretta.
Se la disequazione è
\[
f(x)>g(x)
\]
oppure
\[
f(x)<g(x),
\]
nei punti in cui \(f(x)=g(x)\) la disequazione non è soddisfatta. Gli estremi degli intervalli devono quindi essere esclusi.
Al contrario, nelle disequazioni
\[
f(x)\ge g(x)
\]
e
\[
f(x)\le g(x),
\]
i punti di intersezione devono essere inclusi.
Non considerare il dominio della funzione
Prima di interpretare un grafico è necessario verificare che la funzione sia effettivamente definita nell’intervallo considerato.
Questo aspetto è particolarmente importante nel caso delle funzioni contenenti radicali. Ad esempio, per
\[
f(x)=\sqrt{2x-2}
\]
deve essere
\[
2x-2\ge0,
\]
da cui
\[
x\ge1.
\]
Di conseguenza, non è possibile considerare valori di \(x\) inferiori a 1, anche se il confronto grafico potrebbe indurre a farlo.
Elevare al quadrato senza controllare i segni
Quando nell’equazione o nella disequazione compaiono radicali, l’elevamento al quadrato deve essere effettuato con attenzione.
Nel caso dell’equazione
\[
\sqrt{1-x^2}=\sqrt{x},
\]
entrambi i membri sono non negativi e quindi l’elevamento al quadrato è lecito. Tuttavia, dopo la trasformazione è necessario mantenere i vincoli derivanti dalla presenza dei radicali.
In generale, quando si effettuano trasformazioni algebriche che possono modificare l’insieme delle soluzioni, è sempre opportuno verificare le condizioni di esistenza e, se necessario, controllare le soluzioni ottenute nell’equazione iniziale.
Confondere il verso del confronto
Nel confronto grafico bisogna prestare attenzione al verso della disequazione. Se si richiede
\[
f(x)>g(x),
\]
sono da considerare le zone in cui il grafico di \(f\) si trova sopra quello di \(g\); se invece si richiede
\[
f(x)<g(x),
\]
sono da considerare le zone in cui \(f\) si trova sotto \(g\).
Un’inversione del confronto porta infatti a considerare esattamente gli intervalli sbagliati.
Conclusioni
Il metodo di risoluzione grafica consente di interpretare le equazioni e le disequazioni in modo intuitivo, trasformando il problema algebrico in un confronto tra elementi geometrici. Nel caso delle equazioni di secondo grado, le soluzioni possono essere individuate osservando le intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse, mentre nel caso delle disequazioni è necessario analizzare le regioni del piano in cui il grafico della funzione soddisfa il confronto richiesto.
La rappresentazione grafica permette inoltre di comprendere immediatamente il significato del discriminante: il numero delle intersezioni tra la parabola e l’asse delle ascisse corrisponde al numero delle soluzioni reali dell’equazione.
Il metodo grafico risulta particolarmente efficace quando le funzioni coinvolte hanno una rappresentazione geometrica semplice, come parabole, rette e circonferenze. In situazioni più articolate, il grafico può essere affiancato da un passaggio analitico, utile per determinare con precisione le coordinate dei punti di intersezione e gli estremi degli intervalli di soluzione.
È comunque importante non affidarsi esclusivamente alla lettura qualitativa del grafico: dominio, condizioni di esistenza e verso del confronto devono essere sempre verificati con attenzione. In questo modo, l’approccio grafico diventa non soltanto uno strumento per trovare le soluzioni, ma anche un efficace mezzo per comprenderne il significato geometrico.
Test Finale
Il test seguente permette di verificare la comprensione del metodo di risoluzione grafica illustrato in questo articolo. Le domande spaziano dall’applicazione diretta delle formule a casi che richiedono un ragionamento autonomo sul segno del discriminante e sulla concavità della parabola.
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