Un fascio di parabole è una famiglia di parabole dipendente da un parametro reale e generata, in generale, a partire da due parabole assegnate. Lo studio del fascio permette di individuare le caratteristiche geometriche comuni alle parabole che lo compongono, come gli eventuali punti base e le parabole degeneri.
In questo articolo analizzeremo la rappresentazione analitica di un fascio di parabole e i principali casi che si possono presentare in funzione dei coefficienti delle parabole generatrici. Vedremo inoltre come determinare i punti base, le eventuali rette degeneri e come interpretare geometricamente i diversi comportamenti del fascio attraverso esempi ed esercizi svolti.
Rappresentazione analitica di un fascio di parabole
Date due parabole \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) nella forma
è possibile scriverne una rappresentazione in forma di combinazione lineare come
con \(k \in \mathbb{R}\). \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) prendono il nome di parabole generatrici, mentre \(k\) rappresenta un parametro reale.
L’equazione (1) rappresenta l’insieme delle parabole ottenibili al variare del parametro \(k\) e più precisamente un fascio di parabole.
Osserviamo anche che l’equazione (1) può essere riscritta nella forma
oppure ancora, per \(k\neq-1\) come
Attraverso la formulazione (3) si nota subito che tale rappresentazione è una parabola ad asse verticale per \(a+ka’\neq 0\).
Chiaramente anche le forme (2) e (3), insieme alla formulazione (1) rappresentano tutte un fascio di parabole.
CONSIDERAZIONI
- è possibile che \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) abbiano in generale dei punti in comune. In tal caso la (1) deve risultare banalmente verificata indipendentemente dal valore del parametro \(k\) e, conseguentemente, per tali punti devono passare tutte le parabole del fascio generato da \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\). I suddetti punti prendono il nome di punti base del fascio di parabole.
- Se \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) hanno un solo punto in comune, ci sarà un solo punto base per il quale passeranno tutte le parabole del fascio.
- Se \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) non hanno alcun punto in comune, allora i punti base del fascio di parabole non esistono.
Nota Importante
Attraverso la formulazione (1), è possibile ottenere la parabola \(\Gamma_1\) ponendo \(k=0\), ma non è possibile ottenere \(\Gamma_2\).
Per risolvere questo problema è sufficiente porre \(k=\frac{k_1}{k_2}\) e quindi riscrivere l’equazione (1), dopo aver sostituito \(k\) nella forma equivalente, come:
ovvero, moltiplicando ambo i membri per \(k_2\):
Attraverso quest’ultima formulazione la generatrice \(\Gamma_2\) è invece ottenibile immediatamente per \(k_2=0\) (che equivale a dire \(k=\infty\)).
I casi possibili di fasci di parabole (con ESEMPI INTERATTIVI)
Vogliamo adesso determinare il comportamento dell’equazione (1) al variare dei coefficienti \(a,b,c,a’,b’,c’\) cercando di capire al contempo cosa succede al fascio dal punto di vista geometrico.
Prima di esaminare i vari casi, osserviamo preliminarmente che gli eventuali punti base del fascio di parabole si trovano mettendo a sistema le equazioni generatrici \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) dando luogo a:
da cui, eliminando la \(y\) e riordinando in \(x\):
Se adesso indichiamo con \(\Delta\) il discriminante della (4), possiamo distinguere i seguenti casi:
1°Caso: \(a\neq a’ \wedge \Delta>0\)
In questo caso esistono due punti base del fascio distinti \(A,B\) le cui ascisse soddisfano l’equazione (4).
Osserviamo anche che la (3), per \(k=-\frac{a}{a’}\) (condizione che implica anche \(k\neq -1\)), si riduce all’equazione di una retta \(r_0\) non verticale passante per i punti base \(A,B\):
Inoltre il fascio contiene anche la curva (4) che può ottenersi dalla (2) per \(k=-1\); in tal caso l’equazione (2) ha per soluzioni le ascisse dei punti base \(A, B\) e può scriversi come:
le cui soluzioni sono
che rappresentano la parabola degenere costituita dalle rette verticali passanti per i punti base.
ESEMPIO
Se si considerano le parabole \(\Gamma_1: \; y=x^2-3x+4\) e \(\Gamma_2: \; y=-\frac{x^2}{2}+2x+2\), utilizzando la (1) può scriversi l’equazione che rappresenta il fascio di parabole al variare di \(k\):
In questo caso osserviamo che risulta
, conseguentemente la (4), dopo aver sostituito i valori numerici, si scrive come
che semplificata diventa
da cui
e quindi
Essendo il discriminante \(\Delta>0\) ed \(a \neq a’\) ricadiamo certamente nella casistica a discriminante positivo e coefficienti dei termini quadratici delle parabole generatrici diversi tra loro (1° caso). Pertanto, come visto sopra, otterremo il fascio di parabole al variare di \(k\) e con esclusione della seconda generatrice \(\Gamma_2\) (che si può ottenere per \(k \rightarrow \infty\)) e con punti base di ascisse \(x_A, x_B\).
Infine, per \(k=-a/a’=2\) si otterrà la retta data dalla (5), mentre per \(k=-1\) si otterrano le rette verticali passanti per i punti base del fascio.
Di seguito (grafico interattivo) mostriamo il comportamento del fascio al variare del parametro \(k\).
B = (5/3 + √13/3, 29/9 + √13/9)
2°Caso: \(a\neq a' \wedge \Delta=0\)
In questo caso esiste un unico punto base \(T\) del fascio la cui ascissa (sempre data dalla (4) ma con \(\Delta=0\)) vale:
Anche questa volta, per \(k=-\frac{a}{a'}\) (condizione che implica \(k\neq -1\)), la (3) fornisce l'equazione di una retta \(r_0\) non parallela all'asse delle \(y\) ed ancora rappresentata dalla (5). Tale retta, passante per il punto \(T\) è tangente a tutte le parabole del fascio.
Infine, per \(k=-1\), l'equazione (4), essendovi una radice doppia potrà scriversi come:
che risulta soddisfatta per
In questo caso possiamo concludere che la parabola degenera in due rette verticali coincidenti di equazione \(x=x_T\).
ESEMPIO
Consideriamo le parabole \(\Gamma_1: \; y=-\frac{x^2}{2}+3x\) e \(\Gamma_2: \; y=\frac{x^2}{4}-3x+12\).
In questo caso risulta
Conseguentemente la (4), dopo aver sostituito i valori numerici, si scrive come
che semplificata diventa
e quindi
da cui
e soluzione
A questo punto possiamo scrivere l'equazione del fascio utilizzando la (1) come:
che rappresenta tutte le parabole del fascio al variare di \(k\) eccetto \(\Gamma_2\).
Le parabole degeneri in questo caso sono:
e la retta data dalla (5), ovvero:
dopo averne sostituito i coefficienti delle parabole generatrici \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\).
Nel seguito riportiamo un grafico interattivo che mostra il comportamento del fascio al variare del parametro \(k\).
3°Caso: \(a\neq a' \wedge \Delta<0\)
In questo caso le parabole generatrici non hanno intersezioni reali e, conseguentemente, non esistono punti base. Non esisterà quindi alcuna retta verticale che rappresenta il fascio degenere per \(k=-1\) (più precisamente per \(k=-1\) si ottengono due rette immaginarie!).
Osserviamo infine che, anche per il caso di discriminante negativo, la retta \(r_0\) data dalla (5) esiste e si ottiene sempre dalla (3) per \(k=-\frac{a}{a'}\).
ESEMPIO
Considerate le parabole \(\Gamma_1: \; y=x^2+5x+9\) e \(\Gamma_2: \; y=-3x^2+5x+1\) è facilmente dimostrabile (per esempio mettendo a sistema le due parabole) che queste non hanno alcun punto in comune. In tal caso l'equazione del fascio generato dalle parabole è sempre data dalla (1), mentre la retta \(r_0\) si ottiene al solito per \(k=-\frac{a}{a'}\), dalla (5).
Di seguito il grafico interattivo rappresentativo del caso.
4°Caso: \(a=a' \wedge b\neq b'\)
In questo caso, essendo \(a=a'\), la (4) si riduce ad un'equazione di primo grado e si ottiene un solo punto base \(A\) di ascissa \(x_A=\frac{c'-c}{b-b'}\); osserviamo inoltre che per \(k=-1\), dall'equazione (2) si ottiene una retta verticale di equazione \(x=x_A\).
Infine osserviamo che l'equazione (3) in questo caso può scriversi come (*):
Nota:
(*) Questo perché il termine quadratico della (3) si semplifica, per \(a=a'\), in:
e conseguentemente, essendo il termine quadratico del fascio indipendente dal valore di \(k\), tutte le parabole volgeranno sempre la concavità verso l'alto o verso il basso (a seconda del segno di \(a\)) ed avranno la medesima apertura in dipendenza del valore assoluto di \(a\).
ESEMPIO
Riportiamo nel seguito un caso con grafico interattivo per le parabole generatrici: \(\Gamma_1: \; y=x^2-4x+5\) e \(\Gamma_2: \; y=x^2-8x+18\). In questo caso l'equazione del fascio si scriverà al solito utilizzando la formulazione (1) come:
La retta verticale passante per il punto base avrà invece equazione
5°Caso: \(a=a' \wedge b=b' \wedge c\neq c'\)
In questo caso l'equazione del fascio (3) assume la forma (**):
Nota:
(**) Questo perché il termine quadratico della (3) si semplifica, per \(a=a'\), in:
mentre il termine lineare, analogamente, si semplifica in:
dato che per ipotesi \(b=b'\).
e quindi le parabole sono tutte congruenti tra loro (risultano solo traslate verticalmente).
In questo caso l'asse di simmetria delle parabole del fascio è unico e coincide con la retta verticale passante per i vertici di ascissa comune. L'equazione dell'asse di simmetria è pertanto calcolabile dalla teoria delle parabole ad asse verticale come:
essendo il vertice \(V(x_V,y_V)\).
Nota importante: per \(k=-1\) la funzione rappresentativa del fascio (3) perde di significato ed inoltre l'equazione (4) diventa impossibile. Si faccia quindi attenzione a non confondere la retta \(x=x_V\) che rappresenta l'asse di simmetria comune a tutte le parabole con il caso di parabola degenere per \(k=-1\) che in questo specifico caso, per i motivi sopra esposti, non esiste!
In definitiva, questo specifico caso, il fascio non ha né punti base, né contiene alcuna retta come caso limite di parabola degenere.
ESEMPIO CON GRAFICO INTERATTIVO
Dal grafico interattivo notiamo chiaramente che l'asse di simmetria comune a tutte le parabole è rappresentato dalla retta verticale di equazione
6°Caso: \(a=a' \wedge b=b' \wedge c=c'\)
In tal caso le parabole generatrici \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\) coincidono ed una loro combinazione lineare definita dalla (1) non rappresenta alcun fascio di parabole.
Nota:
Per rappresentare un fascio di parabole è possibile utilizzare anche una formulazione diversa dalla (1); In particolare un fascio di parabole ad asse verticale può essere descritto dalla seguente formulazione:
Per determinare i punti base del fascio generato dalla (8) osserviamo che questa può essere riscritta come:
e che gli eventuali punti base avranno ascisse coincidenti con le soluzioni, se esistono, dell'equazione
Notiamo infatti che le ordinate ricavabili dalla (9) in corrispondenza delle soluzioni della (10) non dipendono dal parametro \(k\) concludendo che i punti ricercati costituiscono i punti base del fascio di parabole.
Fasci particolari
La definizione dei fasci di parabole visti in precedenza può essere affrontata in un ulteriore particolare modo ottenuto dalla combinazione lineare di una parabola ed una retta.
In particolare, dati due punti \(A, B\) di coordinate
con \(x_1\neq x_2\), per tali punti passa certamente la retta di equazione
ed inoltre potremo scrivere che la generica funzione
costituisce il fascio di parabole ad asse verticale ove \(A, B\) rappresentano i punti base.
La (11) infatti rappresenta certamente una parabola ed inoltre le coordinate dei punti \(A,B\) soddisfano identicamente la (11) per ogni valore di \(k\).
Osserviamo infine che per \(k=0\) si ottiene proprio la retta \(y=\overline{m}x+\overline{q}\) che rappresenta una parabola degenere del fascio generato dalla (11). Chiaramente l'altra parabola degenere è costituita dalle coppie di rette verticali \(x=x_1\) e \(x=x_2\).
Analogamente, possiamo definire una formulazione di fascio di parabole ottenuto dalla combinazione lineare di una generica parabola tangente ad una retta in un punto \(T\) di ascissa \(x_0\) come segue:
Esercizi svolti sul fascio di parabole
Esercizio 1
Si scriva l'equazione del fascio di parabole generato dalle seguenti parabole generatrici \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\):
Si determinino inoltre i punti base del fascio e le parabole degeneri.
SOLUZIONE
Utilizzando la formulazione (1) è possibile scrivere immediatamente il fascio di parabole al variare del parametro \(k\) come:
Per determinare gli eventuali punti base del fascio basta studiare la posizione reciproca tra le due parabole mettendo a sistema \(\Gamma_1\) e \(\Gamma_2\):
Risolviamo quindi il sistema attraverso il metodo del confronto (eliminando la \(y\)):
a questo punto calcoliamo il delta dell'ultima equazione
ed infine le soluzioni
Avendo trovato due soluzioni distinte (parabole intersecanti), esse rappresentano le ascisse dei punti base del fascio \(A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)\).
Calcoliamo adesso le ordinate utilizzando una delle due generatrici, per esempio \(\Gamma_2\):
Essendo l'esercizio riconducibile al 1°caso della trattazione teorica (\(a\neq a' \wedge \Delta>0\)) si ottengono immediatamente le parabole degeneri verticali (rette) passanti per i punti base \(A,B\); esse avranno pertanto equazioni:
Infine dalla (5) possiamo determinare la retta \(r_0\) secante le parabole nei punti \(A,B\):
che rappresenta anch'essa un caso di parabola degenere.
B = (−1/6 − √61/6,-41/18 + √61/18)
Esercizio 2
Dato il fascio di parabole
determinarne i punti base.
SOLUZIONE
Essendo i punti base una proprietà intrinseca del fascio, indipendente dal valore di \(k\), possiamo notare che per \(k=0\) si ottiene:
mentre per \(k=1\) il fascio di parabole degenera nella retta
Gli eventuali punti base potranno ottenersi risolvendo il sistema
da cui
quindi le soluzioni
ed infine le ordinate dei punti base
B = (−1, 4)
Errori comuni
Nello studio dei fasci di parabole è facile confondere alcuni casi particolari o applicare le formule senza verificarne prima le condizioni di validità. Gli errori più frequenti sono:
- Confondere le generatrici con tutte le parabole del fascio: le due parabole generatrici appartengono al fascio, ma la formulazione parametrica deve essere interpretata correttamente anche nei valori particolari del parametro.
- Dimenticare che \(k=-1\) è un caso particolare: per questo valore il denominatore della forma esplicita si annulla e bisogna tornare alla forma implicita del fascio per determinare la curva eventualmente rappresentata.
- Confondere i punti base con i vertici delle parabole: i punti base sono i punti comuni a tutte le parabole del fascio e si determinano dalle intersezioni delle due generatrici.
- Considerare sempre presenti due punti base: il numero dei punti base dipende dal discriminante dell’equazione ottenuta eliminando \(y\). Possono esserci due punti base, uno solo oppure nessun punto base reale.
- Dimenticare le condizioni sui coefficienti: i casi \(a\neq a’\) e \(a=a’\) hanno comportamenti geometrici differenti e devono essere analizzati separatamente.
- Confondere una parabola degenere con una parabola ordinaria: per alcuni valori del parametro il fascio può ridursi a una retta o a una coppia di rette, che devono essere interpretate come casi degeneri della famiglia di parabole.
Conclusioni
Lo studio dei fasci di parabole permette di collegare in modo diretto la rappresentazione algebrica con l’interpretazione geometrica delle coniche. A partire da due parabole generatrici è possibile così costruire una famiglia di curve dipendente da un parametro e determinarne le caratteristiche principali attraverso semplici equazioni algebriche.
In particolare, il confronto tra le parabole generatrici consente di individuare gli eventuali punti base del fascio, mentre alcuni valori notevoli del parametro possono condurre a parabole degeneri, rappresentate da una retta o da una coppia di rette.
La classificazione dei diversi casi in funzione dei coefficienti e del discriminante permette quindi di comprendere il comportamento del fascio di parabole e di affrontare in modo sistematico sia gli esercizi teorici sia quelli applicativi.
TEST FINALE
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