In questa raccolta vengono proposti una serie di esercizi sulla parabola svolti passo-passo, pensati per affrontare in modo progressivo i principali problemi della geometria analitica della parabola.
Gli esercizi comprendono il calcolo delle caratteristiche della parabola, la determinazione dell’equazione a partire da condizioni assegnate, le intersezioni tra retta e parabola, la posizione relativa, le corde e le rette tangenti, fino a problemi più articolati che coinvolgono contemporaneamente più condizioni.
Ogni esercizio è accompagnato da una soluzione completa e dettagliata, con tutti i passaggi algebrici necessari, così da rendere chiaro non solo il risultato finale, ma anche il metodo utilizzato per arrivarci.
La raccolta è pensata come supporto per lo studio, il ripasso e la preparazione di verifiche ed esami, e può essere consultata anche per approfondire singoli argomenti.
Formule parabola ad asse verticale
| Descrizione | Formula |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(x=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\) |
| direttrice | \(y=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso l’alto | \(a>0\) |
| concavità verso il basso | \(a<0\) |
Formule parabola ad asse orizzontale
| Descrizione | Formula/Condizione |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(y=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| direttrice | \(x=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso destra | \(a>0\) |
| concavità verso sinistra | \(a<0\) |
ESERCIZIO 1 – Sulle caratteristiche principali della parabola in forma canonica
Data la parabola di equazione
determinare:
- le coordinate del vertice;
- le coordinate del fuoco;
- l’equazione della direttrice;
- le intersezioni con gli assi cartesiani;
Infine, si costruisca il grafico.
SOLUZIONE
Si tratta di una parabola ad asse verticale (coincidente con l’asse delle ordinate) e vertice coincidente con l’origine. Dalla teoria della parabola in forma canonica sappiamo infatti che il vertice ha coordinate
mentre le coordinate del fuoco si scrivono come
essendo \(a=2/5\) il coefficiente del termine quadratico della parabola.
Sappiamo sempre dalla teoria che la direttrice della parabola in forma canonica ha equazione
Infine, l’unica intersezione con gli assi è il punto di coordinate \((0,0)\), ovvero il vertice.
ESERCIZIO 2 – Sulle caratteristiche principali della generica parabola ad asse verticale
Data la parabola di equazione
determinare:
- le coordinate del vertice;
- le coordinate del fuoco;
- l’equazione della direttrice;
- le intersezioni con gli assi cartesiani;
Infine, si costruisca il grafico.
SOLUZIONE
Dalla teoria della parabola ad asse verticale (parallelo all’asse delle ordinate), è noto che le coordinate del vertice possono scriversi come
da cui
essendo
i coefficienti della parabola. Effettuando le sostituzioni dei valori numerici si ottiene
A questo punto procediamo con la determinazione del fuoco \(F\). Sappiamo infatti che esso si calcola come
e quindi sostituendo:
Procediamo a questo punto al calcolo della direttrice, la cui equazione si scrive nella forma
Infine, le intersezioni con gli assi possono essere determinate mettendo a sistema l’equazione della parabola con le equazioni degli stessi assi:
- INTERSEZIONE CON ASSE \(x\) (che ricordiamo ha equazione \(y=0\))
da cui
le cui soluzioni sono:
- INTERSEZIONE CON ASSE \(y\) (che ricordiamo ha equazione \(x=0\))
da cui
ESERCIZIO 3 – Parabola passante per tre punti
Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate passante per i punti \(A(1,0), B(4,0), C(5,2)\).
SOLUZIONE
Dalla teoria della parabola passante per tre punti sappiamo che la parabola ricercata dovrà soddisfare le coordinate di ciascun punto preso singolarmente. Alla luce di ciò possiamo scrivere:
- per il punto \(A\)
- per il punto \(B\)
- per il punto \(C\)
da cui può immediatamente scriversi il sistema:
Risolvendo il sistema ottenuto, per esempio, attraverso il metodo di sostituzione possiamo riscrivere, dopo aver esplicitato \(c\) dalla prima equazione:
a questo punto dalle ultime due equazioni del sistema si ottiene:
quindi semplificando ulteriormente
da cui possiamo ricavare
ed infine
Sostituendo i coefficienti alla generica equazione della parabola ad asse verticale troviamo
ESERCIZIO 4 – Parabola passante per l’origine e vertice noto
Determinare l’equazione della parabola ad asse verticale avente vertice nel punto di coordinate \(V(-2,-3)\) e passante per l’origine.
SOLUZIONE
È noto che una parabola ad asse verticale passante per l’origine ha equazione
Nota (*)
Infatti partendo dall’equazione della parabola in forma generica
ed imponendo il passaggio per l’origine si ottiene
Tenendo conto che il vertice della generica parabola si esprime come
dovrà risultare
da cui
quindi dalla seconda dell’ultimo sistema ricaviamo \(a\) dopo aver diviso prima per 4:
da cui l’unica soluzione accettabile
Infine ricaviamo
La parabola ricercata ha quindi equazione
ESERCIZIO 5 – Parabola con vertice e fuoco noti
Scrivere l’equazione della parabola avente vertice nel punto \(V(1,0)\) e fuoco nel punto \(F(1,-\frac{1}{2})\).
SOLUZIONE
Notiamo che fuoco e vertice hanno la medesima ascissa, conseguentemente la parabola ricercata è ad asse verticale (con asse di simmetria \(x=1\)).
Dalla teoria è noto che per il vertice ed il fuoco dovranno valere le seguenti relazioni:
da cui possiamo ricavare
da cui
A questo punto possiamo ricavare \(c\) come segue:
L’equazione finale della parabola è ottenibile semplicemente sostituendo i valori numerici trovati per \(a,b,c\) come segue:
ESERCIZIO 6 – Parabola ad asse orizzontale con fuoco noto e direttrice nota
Scrivere l’equazione della parabola avente fuoco nel punto di coordinate \(F(-1,0)\) e direttrice di equazione \(x+2=0\).
SOLUZIONE
Essendo la direttrice la retta verticale di equazione \(x=-2\), si tratta di una parabola ad asse orizzontale. Per risolvere l’esercizio, in questo caso, è possibile applicare la definizione di parabola come il luogo geometrico dei punti \(P(x,y)\) equidistanti dalla direttrice di equazione nota e dal fuoco, anch’esso noto.
Dovrà pertanto risultare che la generica distanza del punto \(P(x,y)\) dalla retta \(x+2=0\):
e la distanza tra il punto \(P(x,y)\) ed il fuoco \(F\):
dovranno risultare uguali tra loro, in formule:
e quindi
Se a questo punto eleviamo al quadrato entrambi i membri nell’ultima equazione otteniamo
che semplificata fornisce
quindi dividendo ancora ambo i membri per 2:
che rappresenta l’equazione della parabola ricercata, ovvero una parabola ad asse orizzontale con concavità verso destra e con vertice nel punto \(V(-3/2,0)\).
Nota
Si fa presente che saremmo potuti pervenire al medesimo risultato utilizzando la formula per il calcolo delle coordinate del fuoco e della direttrice della parabola ad asse orizzontale risolvendo il sistema
Si lascia al lettore, a titolo di esercizio, la risoluzione numerica del sistema precedentemente impostato per pervenire al medesimo risultato di quello già trovato dopo aver ricavato i coefficienti \(a,b,c\), quindi proceduto alla sostituzione nell’equazione in forma \(x=ay^2+by+c\).
Per ulteriori esercizi svolti sulla parabola ad asse orizzontale o per consultare la teoria è possibile approfondire l’argomento nell’articolo dedicato alla parabola ad asse orizzontale.
ESERCIZIO 7 – Intersezioni tra retta e parabola
Determinare le intersezioni tra la retta di equazione \(x+y=0\) e la parabola \(y=-\frac{x^2}{8}-2\).
SOLUZIONE
È possibile trovare eventuali intersezioni tra retta e parabola mettendo a sistema le relative equazioni:
Il problema si è quindi ricondotto alla risoluzione del sistema precedente. In particolare, la sostituzione della prima equazione alla seconda consente di scrivere
quindi risolviamo la seconda rispetto ad \(x\)
da cui
e quindi
a cui corrisponde l’ordinata (utilizzando l’equazione della retta):
Risultando i punti coincidenti, la parabola risulta tangente la retta data nel punto \(T(4,-4)\) (si veda Fig.6)
ESERCIZIO 8 – Posizione relativa tra parabola e retta
Data l’equazione della parabola \(y=x^2+1\) e la retta generica passante per il punto \((1,0)\), determinare il coefficiente angolare \(m\) della retta in modo tale che le intersezioni con la parabola siano distinte, coincidenti o non esistano.
SOLUZIONE
Il problema può essere risolto imponendo la condizione di tangenza \(\Delta=0\) tra la parabola e la generica retta passante per il punto (\(1,0\)) a coefficiente angolare variabile, ovvero:
Eliminando \(y\) otteniamo
Affinché la retta sia secante la parabola sarà sufficiente imporre la condizione \(\Delta>0\) all’ultima equazione risolvente, ottenendo:
L’ultima disequazione risulta soddisfatta nell’intervallo
e, conseguentemente, in tale intervallo di valori di \(m\) la retta risulterà secante la parabola.
Infine la retta sarà tangente la parabola per
mentre per
non esiste alcuna intersezione.
Esplorazione interattiva: posizione reciproca retta-parabola
Parabola fissa y = x² + 1. Trascina lo slider per variare m nella retta y = m(x − 1), passante per il punto fisso (1, 0), e osserva come cambia la posizione reciproca.
Per approfondire l'argomento o per ulteriori esercizi svolti è possibile consultare l'articolo dedicato alla posizione reciproca tra retta e parabola.
ESERCIZIO 9 - Corda staccata da una retta su una parabola
Determinare l'equazione della retta parallela all'asse \(x\) in modo tale che la corda intercettata con la parabola \(y=\frac{x^2}{5}-2x\) sia pari a 6.
SOLUZIONE
Per risolvere il problema è sufficiente mettere a sistema la parabola con la generica retta orizzontale di equazione \(y=k\) così da determinare i generici punti di intersezione tra retta e parabola.
Una volta determinati tali punti, sarà sufficiente imporre la condizione che la distanza tra i punti sia pari a 6 quindi risolvere rispetto al parametro \(k\).
Procediamo a risolvere il seguente sistema:
quindi, eliminando \(y\), si ottiene
ed infine, moltiplicando ambo i membri per 5:
che risolta fornisce
Notiamo che la condizione sul discriminante impone che sia \(25+5k>0\) affinché i due punti di intersezione siano distinti, ovvero \(k>-5\).
Osserviamo inoltre che, essendo i punti di intersezione contenuti su una retta orizzontale, questi avranno la medesima ordinata e, conseguentemente, la loro distanza potrà essere scritta come:
Sostituendo alla precedente i valori trovati per \(x_1\) ed \(x_2\) in funzione del parametro \(k\) ed imponendo che tale distanza sia pari a 6 si ottiene la seguente equazione:
che si semplifica in
Per eliminare il valore assoluto sarà a questo punto sufficiente elevare al quadrato ambo i membri ottenendo:
da cui
La retta ricercata è pertanto
ESERCIZIO 10 - Rette tangenti due parabole contemporaneamente
Determinare le equazioni delle rette tangenti contemporaneamente le seguenti parabole:
SOLUZIONE
Affinché le rette siano contemporaneamente tangenti le parabole assegnate dovrà risultare nullo il discriminante dell'equazione risolvente il sistema formato tra la generica retta di equazione \(y=mx+q\) e le parabole (prese singolarmente). Analiticamente dovrà quindi essere soddisfatta la doppia condizione:
con \(\Delta=0\), unitamente a
sempre con la condizione \(\Delta=0\) sul sistema.
Dal primo sistema si ottiene
Applicando la condizione di tangenza \(\Delta=0\) all'ultima equazione si perviene a
che rappresenta la prima delle condizioni necessarie.
A questo punto, analogamente, procediamo ad impostare la seconda condizione partendo dal secondo sistema in cui figura l'altra equazione della parabola imponendo sempre che vi sia la condizione di tangenza tra la retta e la parabola \(\Gamma_2\), ovvero \(\Delta=0\). In questo caso si otterrà:
Applicando nuovamente la condizione di tangenza all'ultima equazione si ottiene:
Ciascuna delle due condizioni è quindi rappresentata da un'equazione indipendente nelle incognite \(m,q\) e pertanto le equazioni vanno risolte insieme attraverso il sistema:
da cui si ottiene
Effettuando la sottrazione membro a membro nell'ultimo sistema si perviene a
da cui
che sostituita ad una delle due equazioni dell'ultimo sistema (per esempio la prima) fornisce
L'ultima equazione in \(m\) ci consente a questo punto di determinare i coefficienti angolari incogniti delle rette. Procedendo al calcolo otteniamo:
quindi
e, tenendo conto della relazione \(q=-4/3m\), in definitiva anche i termini noti:
Le due rette ricercate hanno equazioni:
ESERCIZIO 11 - Parabola passante per un punto e tangente ad una retta data
Determinare l'equazione della parabola \(y=ax^2+bx+c\) tangente nell'origine la bisettrice del primo e terzo quadrante e passante per il punto \(A(-3,2)\).
SOLUZIONE
Sappiamo che la parabola passa per il punto \(A(-3,2)\) e pertanto la sua equazione dovrà soddisfare le coordinate di tale punto. Se si indicano quindi con \(a,b,c\) i coefficienti della parabola, dovrà essere soddisfatta la condizione di passaggio per \(A\), ovvero:
che può riscriversi come
La seconda condizione da imporre è la tangenza tra parabola e la retta \(y-x=0\) (bisettrice del primo e terzo quadrante) ovvero:
con la condizione di discriminante nullo \(\Delta=0\) (condizione di tangenza).
Sostituendo la seconda alla prima si ottiene:
da cui
Applicando la condizione \(\Delta=0\) all'ultima equazione si ottiene:
Osserviamo infine che le condizioni imposte, da sole, non risultano sufficienti per risolvere il problema: abbiamo infatti ottenuto due equazioni (una per ciascuna condizione imposta) nelle tre incognite \(a,b,c\) che ammetterebbero in generale infinite soluzioni.
Essendo tuttavia noto il punto in cui retta e parabola risultano tangenti (in questo caso l'origine) dovrà risultare soddisfatta l'ulteriore condizione di passaggio della parabola per tale punto, in formule:
da cui si ottiene
che consente inoltre di semplificare rapidamente la condizione di tangenza precedentemente ottenuta \((b-1)^2-4ac=0\) in:
Infine dall'equazione \(9a-3b+c-2=0\) si ricava:
L'equazione finale ricercata è quindi
Conclusioni
Gli esercizi proposti sulla parabola permettono di applicare in modo concreto i principali strumenti del suo studio e della relativa rappresentazione, dalla determinazione della sua equazione fino all’analisi delle intersezioni e delle rette tangenti.
La varietà dei problemi incontrati mostra come, partendo da condizioni geometriche diverse, sia possibile tradurle in equazioni e condizioni algebriche e procedere sistematicamente verso la soluzione.
Per consolidare la preparazione, è utile provare a risolvere autonomamente gli esercizi prima di consultare i passaggi svolti, utilizzando poi le soluzioni come verifica del procedimento.
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