La parabola è una delle principali coniche studiate nella geometria analitica e rappresenta una curva fondamentale per comprendere il legame tra algebra e geometria.
In questa guida analizzeremo la parabola in modo completo e sistematico, partendo dalla sua definizione e dalle sue caratteristiche geometriche fino ad arrivare alle principali forme dell’equazione e alla sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Vedremo come determinare vertice, asse di simmetria, fuoco e direttrice, come ricavare l’equazione di una parabola a partire da determinate condizioni e come studiare la posizione reciproca tra una parabola e una retta.
Saranno inoltre affrontati i casi più importanti relativi a intersezioni, rette tangenti, fasci di parabole e alla risoluzione grafica di equazioni e disequazioni mediante la parabola.
La trattazione è accompagnata da specifici link di approfondimento ad articoli dedicati comprensivi di esempi ed esercizi svolti passo dopo passo, con l’obiettivo di fornire uno strumento completo per lo studio e l’applicazione della parabola in geometria analitica.
Definizione di parabola
La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso \(F\) detto fuoco e da una retta chiamata direttrice.
La forma canonica dell’equazione
Una parabola in forma canonica assume la forma
La (1) rappresenta una parabola con asse coincidente con l’asse delle ordinate e vertice \(V\) coincidente con l’origine degli assi \(O\).
Dalla (1) notiamo che il parametro \(a\) è l’unico coefficiente a definire la parabola canonica. Da esso infatti dipende l’apertura o la chiusura della parabola e la concavità in base al segno del medesimo parametro.
| Descrizione | Formula |
|---|---|
| Equazione canonica | \(y = ax^2 \quad (a \neq 0)\) |
| Vertice | \(V(0,\ 0)\) |
| Asse di simmetria | \(x = 0\) (asse \(y\)) |
| Fuoco | \(\displaystyle F\!\left(0,\ \frac{1}{4a}\right)\) |
| Direttrice | \(\displaystyle y = -\frac{1}{4a}\) |
| Concavità verso l’alto | \(a > 0\) |
| Concavità verso il basso | \(a < 0\) |
| Caso degenere | \(a = 0\) — retta \(y = 0\) |
La trattazione completa della teoria, comprensiva delle formule, la costruzione per punti e gli esempi svolti sono consultabili all’articolo dedicato alla parabola in forma canonica.
Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate
Una generica parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate assume la forma
Notiamo che la (2) a differenza della (1) dipende da tre parametri \(a,b,c\). Ciò dipende dal fatto che è stata rimossa l’ipotesi di vertice coincidente con l’origine degli assi. Questa volta infatti il vertice \(V(x_0,y_0)\) si trova in un punto qualsiasi del piano cartesiano.
Formule parabola ad asse verticale
| Descrizione | Formula |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(x=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\) |
| direttrice | \(y=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso l’alto | \(a>0\) |
| concavità verso il basso | \(a<0\) |
La trattazione approfondita della teoria, comprensiva delle formule per il calcolo del fuoco, vertice, asse di simmetria, direttrice e gli esercizi svolti è consultabile all’articolo dedicato alla parabola con asse verticale.
Parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse
La generica parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse assume una forma del tipo
Anche questa volta l’equazione della parabola dipende dai parametri indipendenti \(a,b,c\) ed ha vertice in un generico punto di coordinate \(V(x_0,y_0)\) ma, a differenza della (2), le variabili \(x\) ed \(y\) risultano scambiate.
Formule parabola ad asse orizzontale
| Descrizione | Formula |
|---|---|
| vertice | \(V\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| asse di simmetria | \(y=-\frac{b}{2a}\) |
| fuoco | \(F\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)\) |
| direttrice | \(x=-\frac{1+\Delta}{4a}\) |
| concavità verso destra | \(a>0\) |
| concavità verso sinistra | \(a<0\) |
Per un approfondimento teorico comprensivo delle formule per il calcolo del fuoco, vertice, asse di simmetria, direttrice ed esempi svolti si rimanda all’articolo dedicato alla parabola con asse orizzontale.
Determinare la parabola noti tre punti
Uno dei problemi classici della geometria analitica consiste nel determinare l’equazione di una parabola noti tre punti \(A,B,C\) di ascisse distinte tra loro aventi coordinate
Se consideriamo per esempio una parabola ad asse verticale (2) (ma analogo ragionamento può essere esteso anche al caso della parabola ad asse orizzontale) sappiamo che tale equazione dovrà essere soddisfatta per ciascun punto di passaggio \(A,B,C\).
Ciò consente di scrivere un sistema di tre equazioni in tre incognite del tipo
che risolto rispetto ai parametri \(a,b,c\) permette di determinare appunto i parametri che definiscono univocamente la parabola passante proprio per tali punti.
Per approfondire lo specifico argomento, l’impostazione del problema e la strategia risolutiva del sistema (4) e le relative applicazioni, nonché i casi particolari, è possibile consultare l’argomento specifico dedicato a: la parabola passante per tre punti.
Retta e parabola: intersezioni e posizione reciproca
Nel piano cartesiano una retta ed una parabola possono avere differenti posizioni reciproche. In particolare, una retta può essere tangente, secante oppure ancora può non avere alcun punto di intersezione con una parabola.
Se si considera infatti il sistema formato da una parabola ed una retta non verticale
è noto che la posizione reciproca tra retta e parabola può essere studiata attraverso il segno del discriminante del sistema (5).
In particolare, se dal sistema (5) si elimina la variabile \(y\), si ottiene l’equazione
e quindi raccogliendo rispetto ad \(x\):
da cui è possibile calcolare il discriminante \(\Delta\) come
A seconda del segno di \(\Delta\) si avranno i seguenti casi:
- \(\Delta>0\) (retta secante la parabola in due punti distinti)
- \(\Delta=0\) (retta tangente la parabola in due punti coincidenti)
- \(\Delta<0\) (retta non intersecante la parabola in alcun punto)
Per approfondire l’argomento, studiare le applicazioni ed i casi particolari è possibile consultare l’articolo dedicato all’argomento sulla posizione reciproca tra retta e parabola.
Rette tangenti ad una parabola
Tra i vari problemi di geometria analitica coinvolgenti rette e parabole, capita spesso di determinare l’equazione (o le equazioni) di una retta tangente ad una parabola. In particolare, possono distinguersi in generale due casi:
- 1° Caso – parabola e retta sono tangenti tra loro e la retta deve passare per un punto esterno alla parabola;
- 2° Caso – parabola e retta sono tangenti tra loro e la retta passa contemporaneamente per un punto appartenente alla parabola.
Il problema della ricerca della retta tangente alla parabola è quindi ricondotto alla risoluzione del sistema (5) con la condizione \(\Delta=0\) sulla (6).
Per la trattazione completa del problema della ricerca della retta tangente alla parabola e gli esercizi svolti si consiglia di consultare l’approfondimento dedicato: retta tangente ad una parabola.
Equazioni e disequazioni per via grafica con parabole
La rappresentazione grafica della parabola permette di risolvere in modo immediato alcune equazioni e disequazioni, interpretando le soluzioni direttamente attraverso i punti di intersezione tra il grafico e una retta. In particolare, per un’equazione di secondo grado, le ascisse dei punti in cui la parabola interseca l’asse \(x\) rappresentano le soluzioni dell’equazione associata.
Lo stesso approccio può essere esteso alle disequazioni, osservando gli intervalli in cui la parabola si trova sopra o sotto l’asse \(x\), oppure rispetto a una determinata retta.
Per una trattazione completa, con esempi e rappresentazioni grafiche, consulta l’approfondimento dedicato alla risoluzione grafica di equazioni e disequazioni con la parabola.
Il fascio di parabole
Un fascio di parabole è un insieme di parabole che condividono alcune caratteristiche geometriche comuni e che possono essere descritte attraverso un’equazione dipendente da uno o più parametri. Lo studio del fascio permette di analizzare in modo unitario diverse parabole legate tra loro, individuando, ad esempio, i punti comuni e le condizioni che determinano particolari configurazioni geometriche. La rappresentazione grafica consente inoltre di visualizzare come varia la parabola al variare del parametro.
Per approfondire la costruzione e lo studio dei fasci di parabole, con le relative equazioni, rappresentazioni grafiche ed esercizi, consulta l’approfondimento dedicato.
Esercizi svolti sulla parabola
Gli esercizi sulla parabola permettono di applicare le proprietà e le formule studiate nei diversi casi, dalla determinazione degli elementi caratteristici alla costruzione dell’equazione, fino allo studio delle intersezioni con una retta e delle rette tangenti. La risoluzione passo-passo aiuta a comprendere il procedimento e a riconoscere le strategie più adatte in base ai dati del problema.
Per esercitarti sui principali argomenti, consulta la raccolta di esercizi sulla parabola svolti passo-passo, con soluzioni complete e spiegate.
Cita questa risorsa
"Questa pagina non si è scritta da sola — ogni parola qui è stata scritta e verificata a mano. Se ti è stata utile, condividerla o citarla come fonte aiuta a farla arrivare al prossimo studente che ne ha bisogno."
Citazione
Link HTML da copiare